ご回答誠に有難うございます。

前記事についてですが
『> http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
> では複素数列にも振動するケースがある事が述べられてるので
カオスの話をする場合にはそういう区別が必要なこともあるでしょう.
「どういう区別が必要か」は「どういう話をするときか」に
依存します.』
についてまだ混乱があります。
つまり,複素数列の極限は実際には収束,振動,カオス,∞に発散(lim_{z→0}1/zのケースなど)
の4種類があるがカオスに特化した議論以外では,発散と言えば振動,カオス,∞に発散は一緒くたにして考えるのですね。振動についても同様なのですね。
そこで疑問なのですが
実数列,複素数列とも発散については夫々、振動,±∞と振動,カオス,∞ という概念が確かにある事は分かりました。実数列では発散の分類について,
振動,±∞という3ケースを習うのに対して
複素数列では発散の分類を軽視するのでしょうか?
複素数列で発散の区別を迫られる事態は余程の事が無い限り遭遇しないものなのでしょうか?

>> そこの箇所は
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__17.jpg
>> のように訂正致しました。
> それは単に証明することを放棄しただけですね.

あれ?
Prop199.99465(v)については前記事(130204203516.M0100611@ras1.kit.ac.jp)の
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__07.pdf
で一応解決済みなのですよね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__06.jpg
>> の箇所ですね。
> それらの式自体, 折角正の値を取るものを上から評価しようとしている時に,
> 負の値を取るものを混ぜているという意味で, 全く無意味ですが,

えーっ? そうしますと,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__09.pdf
での3ページの7行目からはどのように進めばいいのでしょうか?

> その直ぐ後に複素線積分に戻しているのが更に間違っている,
> と申し上げました.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__10.jpg
の上から2行目から3行目に掛けての事ですね。
2行目の∫_ε^∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| |du|
は|du|も被積分関数も実数上で考えられた実広義積分ですよね。
然し,3行目の∫_ε^∞|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| du
は被積分関数は実関数になってるにせよ複素線積分の形になってますよね。
そして,2行目のはR^2平面上の曲線|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1|とu軸とで挟まれたεから+∞までの実広義積分
3行目のは確かに積分範囲はεから"∞(無限大でなく無限遠点)"までですし,
lim_{C∋z→∞}∫_ε^b|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1| duといった複素異常積分の概念は存在しないのですね。
更に|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|s^{s-1}|/|exp(u)-1|は別の複素平面に描かれた曲線(これは描きようがないのでしたね)でその曲線下と元の複素平面の実軸とで挟まれたカーテンの面積を表しているので必ずしも2行目のの面積と等しくなるとは限りませんでしたね。

>> では∫_{C_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/|exp(u)-1| |du|
>> から先は一体どのようにすればいいのでしょうか?
> 上からの評価を与えましょう.

了解ですが
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__10.jpg
の2行目から手も足も出ないのですがどう対処すればいいのでしょうか?
何とか∫_ε^∞(ln(u))^2exp(|h||ln(u))|u^{s-1}|/(exp(u)-1)duについて
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__11.jpg
という形にもっていって有界性を示すのは間違ったアプローチでしょうか?

ところで前記事にて
『それは複素数値ではなく, リーマン球面に値を取るとする
場合の話です.』
についてですがリーマン球面と拡大された複素平面とは同一視と捉えては駄目なのでしょうか?

>> つまり, 関数fをリーマン面(即ち,拡大された複素平面)で考えた場合の話なのですね。
> 「値域」をです.

そうでしたね。 fの値域を拡大された複素平面で考えた場合の話なのでした。

>> 複素線積分はリーマン面ではなく複素平面でのみ考察される概念なのですね。
> 今は, 「値」が収束しているかどうかだけが関心事です.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_line_integral__00.jpg
>> でいいのでしたね。
> それは「複素線積分」の定義でしょう.
> 今議論しているのは, 実数の区間上の複素数値関数のリーマン積分の定義
> です.

そうでしたか。複素線積分の定義
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_line_integral__00.jpg
にて曲線Cを[a,b],写像wをMap([a,b],R)∋w; [a,b]∋∀x→w(x)=x(つまり,wは恒等写像)とした場合が
実数の区間上の複素数値関数のリーマン積分の定義と言えますよね?

因みに実定積分の定義として
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_definite_integral__00.jpg
は正しいですよね。
集合内の"x_j∈(x_{j-1},x_n) (where j=1,2,…,n-1),n∈\setminus{0}"は全分割を網羅してます。

>>> \min が使われているのも, 何も分かっていない証拠です.

確かに。今,複素平面での話しなので"min {|z|;z∈f([x{i-1},x_i])}"は意味不明でした。
(実数の)定積分の定義に釣られてこのように書いてしまったのでした。

>>> リーマン球は「半径 1 の球面」ではありませんよ.

直径1の球面でしたね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Riemann_sphere__02.jpg
>> という風に半径1の球面を定義域とした関数fの像f(R)の事を
>> Riemann球面と呼ぶのでしたね。
> 貴方の R は半径 1/2 の球面ですね. ともあれ, その球面から,
> 「複素多様体」としての性質以外の側面を除いたものが Riemann 球面です.
> 半径が 1 であるとか 1/2 であるとかは忘れるのです.

ご解説大変有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_manifold__05.pdf
を再度読み返しているのですが"「複素多様体」としての性質"とは具体的にどのような性質の事なのでしょうか?