ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__02.pdf
>> と訂正致しましたが証明の初行で
>> d/ds ∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)du=∫_{C_ε}∂/∂s u^{s-1}/(exp(u)-1)du
>> となるのかどうして分かりません。どうしてなのでしょうか?
> 何度も同じことを言いますが, 先ず示すのは
>  \lim_{h \to 0}
>   ((\phi(s+h) - \phi(s))/h
>     - \int_{C_\epsilon}
>         { \partial \over \partial s }(u^{s-1}/(\exp(u) - 1)) du)
>  = 0
> です. それが出発点.

あぁ。漸く,"見越して"の意味が分かりました。

> これが示せたら,
>  \lim_{h \to 0} ((\phi(s+h) - \phi(s))/h)
> が存在して,
>  \int_{C_\epsilon} { \partial \over \partial s }(u^{s-1}/(\exp(u) - 1)) du
> で与えられることが分かったのですから,
>  (d/ds)(\phi(s))
>   = \int_{C_\epsilon} { \partial \over \partial s }(u^{s-1}/(\exp(u) - 1))
> du
> が示せたことになります.
> 出発点を間違えては, 先に進めないのは当然です.

有難うございます。納得です。

>> あと,末行から5行目にてc,M∈R^+としてどのようなものが採れるのでしょうか?
> 先ず, 今考えているのは複素線積分ですから,
> u は複素数であり, |u^{s-1}| が u^{Re(s)-1} になるわけではない,

おっとそうでした。0<uの時でないと|u^{s-1}| が u^{Re(s)-1}は言えませんでしたね。 


> ことに注意しましょう.
> しかし,
>  C_\epsilon
>   = (-[\epsilon, +\infty)) + \gamma_\epsilon + [\epsilon, +\infty)
：
> ですから, 有界であることは, 積分が収束することから示されます.
> c は何でも良い. 最後の積分値が M です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__01.pdf
とお陰様で何とか上手くいきましたが,1ページのProp205.29245の[1]で先ず,
∫_ε^∞(ln(u))^2exp(hln(u))u^{s-1}/(exp(u)-1)duが積分確定(振動しない,つまり複素数値を持つか∞である)である事を言わねば不等号が意味不明になると思うのですが
どのように対処すれば宜しいでしょうか?
あと,5ページ目の冒頭も同様に
∫_{C_ε}(Σ_{n=2}^∞h^{n-2}(ln(u))^n/n!)u^{s-1}/(exp(u)-1)duが積分確定である事とC_εが有界閉集合でないとProp205.2924が使用できないのですがこれもどう対処すれば宜しいでしょうか?

>> 仰る通りですね。「…[8.7]」の直下で「(∵exp(x)-1<2x on (0,1))」
>> という風に断っております。
> それを使わずに \lim_{x \to +0} 1/(\exp(x) - 1) = +\infty
> を理由としては
>> 見難くて大変失礼いたしました。
> 見難いというのではなく, 間違いになります.

これは大変失礼いたしました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__08.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__09.jpg
で宜しいでしょうか?

>> さようでございます。「\not \in C」は
>> ∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx=∞ か ∫_0^∞|x^{s-1}/(exp(x)-1)}dxは
>> Lebesgue積分不確定という意味です。
> Lebesgue 積分として \int_0^\infty |x^{s-1}/(\exp(x)-1)| dx = +\infty
> というのは意味がありますが, 複素数値の関数の積分で
> \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x)-1) dx = \infty
> というのは意味不明です.

複素多様線積分では積分値が無限大になる事はないのでしょうか?
例えば∫_1^∞ dx/xは実数上の積分と考えれば無限大になりますが
複素数上の線積分と考えた場合は無限大とはならないのですね?
その場合,∫_1^∞ dx/xは何らかの複素数値を持つのでしょうか?

> いずれにせよ, \notin C と書いては意味が確定しません.

複素数の積分値を持たないという意味だったのですが。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__01.pdf
>> にて,(v) ∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx はRe(s)≦1で発散を示しているのですが
> だから, そういう式では Riemann 広義積分が発散するという
> 意味が伝わらないと言っています.

そっそうですか。通例では"∫_A f(z)dz \not \in C"と表記したりすると∫_A
f(z)dzは発散するという意味ではなく別の意味に取られ兼ねないというのですね。
うーん, "∫_A f(z)dz \not \in C"と表記したら発散ではなくどのような意味に誤釈され易いのでしょうか?

>> |∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx |としても何も出てきそうもなさそうだし,
>> 一体どのようにして証明すればいいのでしょうか?
> Riemann 広義積分が発散することの略証は
> <120921121447.M0126779@ras2.kit.ac.jp>
> において与えたことを
> <121011173130.M0129823@ras1.kit.ac.jp>
> で既に述べました.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__02.pdf
と取りあえずなったのですが上から8行目でfの定義でどうしてx=0での定義が必要なのでしょうか?その後,f(0)は登場しないのですが。
そして2ページ目の下から4行目の式がどうして発散と分かるのでしょうか?
あと,末行で∫_0^1x^{Re(s)-1}/exp(x) dxが発散する事はどうすれば示せるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10005__01.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1027__01.jpg
>> で宜しいかと思います。
> [Prop192.10005(vi)] の証明がちゃんとできるのか,
> 疑問ではありますが, もう追求しません.

これは大変失礼いたしました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10005__02.jpg
と致しました。

>> えっそんなバカな。。(ii),(iii)は問題無いと思うのですが一体!?
> (ii) は s = 0 の時を含んでいますが,
> u^0 = 1 という定数関数は複素平面上正則です.
> (iii) は u = 0 で定義されていない関数の微分を u = 0 で
> 計算しようとしている点で, 無意味なことです.

これは失礼致しました。仰る通りです。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1027__02.jpg
と訂正致しました。

> z/(\exp(z)-1)|_{z=0} なら, z/(\exp(z)-1) という関数は
> 自然に z = 0 にまで拡張できるということを了解していると考えて,
> 許容範囲ですが,

はい。

>> これはOKで
>> lim_{z→0}z/(exp(lim_{z→0}z)-1)はどうして許容範囲外なのでしょうか?
> \lim_{z \to 0} z = 0 なのですから,
> それは 0/(\exp(0)-1) と書くのと変わりません.

そうでしたか。了解しました。覚えておきます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__01.jpg
>> では如何でしょうか?
> (i) はそれで良いですが, (iii) は駄目ですし,
> A が有界閉区間とするのでは, 現在の場合に使えません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__04.jpg
とすればいいのですね(但し,この場合(i)が偽と成ってしまいますが)。

>> 121007212833.M0126540@ras2.kit.ac.jp
>> の　
>> 「これは準備の仕方が悪い.
>> \lim_{h \to 0}
>> ：　
>> |\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du|
>> なので, この最後の積分が |h| が十分小のとき有界であることを
>> 示せば良い.」
>> の箇所でしょうか?
> はい.

お陰様で
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__03.pdf
となりました。これでいかがでしょうか?