ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__8.jpg
>> とお蔭様で上手くいきました。
> \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 に相当することを
> 示すのにロピタルの定理を使うのは２重に間違っています.

え? 素直に
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1023__14.jpg
に当て嵌めただけなのですが。

> (\exp(u))' = \exp(u) であることは
> \lim_{u \to 0} (\exp(u) - 1)/u = 1 であることと

ロピタルの定理を使わずにどうしてlim_{u→0} (exp(u) - 1)/u = 1が言えるのでしょうか?

> 指数法則から導かれたりしますが,

具体的にどのようにするのでしょうか?

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_100035__00.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_10005__00.jpg
でもいいんですよね。

> それなら
>  \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) -1)
>   = \lim_{u \to 0} (1/((\exp(u) - 1)/u))
>   = 1/(\lim_{u \to 0} ((\exp(u) - 1)/u))
>   = 1

lim_{u→0}(exp(u) - 1)/u = 1が言えるのならこれは確かにそうですが。

> は既に分かっている筈の話です. まあ, 実際には
> 複素変数の指数関数はベキ級数表示から始めるものでしょうから,
> u/(\exp(u) - 1) が u = 0 まで正則関数に伸びることも,
> そこでの値が 1 であることも一度に分かることで,
> その意味では, \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 は
> 「当たり前」のことですが.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__10.jpg
ででもいいですね。

> それから何度も言いますが, 複素数値関数に対して
> ロピタルの定理のような式を示しても証明にはなりません.

えーと,これは
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1023__14.jpg
という命題は存在しないのですか?
それとも存在はするが
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__8.jpg
には使えないという事でしょうか?

>> もしかして正しい題意は
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__05.jpg
>> でしょうか?
> 間違っています.
> 積分 \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du は,
> (\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s) \zeta(s) になること
> を示すつもりではないのですか.

申し訳ありません。その命題は見失ってしまいました。今,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/zeta_function04.pdf
の命題らを考察中でございます。

恐らく
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__02.jpg
の命題の事を仰っているのかと思います。
兎に角
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__02.jpg
という題意は間違いで
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__05.jpg
が正しい題意なのですね。

> \zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に
> 無数の零点を持つ関数ですよ.

すると
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__06.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__05.jpg
も間違いな題意なのですね。

Σ_{n=1}^∞1/n^sのsが1<s∈Rの時はただの調和級数になるのでIm(s)=0且つRe(s)>1の時は,ζ(s)は零点を持たないですね。すると
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__08.jpg
が正しい題意になりましょうか?

>>> u^{s-1} も \exp(u) - 1 も(一価の)正則関数ですし,
>>> 十分に小さな \epsilon に対しては \exp(u) - 1 は
>>> \gamma_\epsilon 上では 0 になりませんから.
>> ここでのγ_εとは
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2992__00.jpg
>> の曲線Cの事でいいのですよね?
> 何故, \epsilon が 1 以上かそうでないかで分けるのか, とか,
> 何故, t の範囲が角が 2 \pi から 4 \pi まで動くように
> 設定されているのか, とか, 不審な点はありますが,
> 良いでしょう.

取り敢えず了解です。

>> 留数定理とは
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__00.jpg
>> ですよね。
> 必要なのは f が C 上では正則で, C の内部には孤立特異点のみ
> 持ち, 内部から孤立特異点を除いたところで正則であること
> ですが, あなたの記述からそれは読み取れません.

失礼致しました。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__01.jpg
でしたね。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2992__00.jpg
>> ではγ_ε(つまり,C:z(t))は閉曲線となりましたが,
> この時には整数の s で考えています.

そうですか。了解です。

>> 一方
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__06.jpg
>> (2π>εと加筆しました)で は, L_ε上を∞からεまで来て,
>> C_εを一周して, M_εに乗り移る時には,2葉目のRiemann面に移って
>> しまっているのでC_εは閉じてはいないんですよね。
> この時には整数でない s を主に考えています.

するとProp205.2993ではs∈N\setminus{0,1}の時とs∈C\setminusN\setminus{0,1}の場合に分けて考えねばならないのですね。

>> どちらが本当なのでしょうか?
> s が整数でないときには原点で分岐する Riemann 面を
> 考える必要があるし, s が整数の時には普通の複素数平面で
> 考えれば良い, というだけの話です.

なるほどです。

>> 取り敢えず
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__07.pdf
>> となったのですが
> それらの主張が多くの誤りを含んでいることは既に指摘しました.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__10.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__11.jpg
ならいいのですね。

>> 下から8行目の∫_ε^∞exp((s-1)ln(x))/(exp(x)-1) dx∈C
>> となる事はどうすれば言えるのでしょうか?
> その Proposition の内容自体は問題ですが,
> \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx の扱い方は,
>  = \int_\epsilon^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
>     + \int_1^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
> と分けておいて, \int_\epsilon^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は,
> Re(s) > 1 であれば, \epsilon \to 0 としても, 有限値に収束する
> ことを確かめ, \int_1^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は
> 任意の s について有限確定値を持つことを,
> \int_1^\infty x^{Re(s) - 1} \exp(-x) dx < +\infty
> を示して導くことになります. \Gamma(s) が Re(s) > 0 では
> \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx で与えられることを
> ちゃんと理解していれば, 上記のことも示せる筈です.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__00.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29925__00.jpg
となったのですが,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__00.jpg
の下から4行目のRe(s)≦0の時の∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx∈Cはどうすれば言えるのでしょうか?

>> そして,末行において,Res_{u=0}u^{s-1}/(exp(u)-1)=0から
>> uの解はどのように求まるのでしょうか?
> s = 1 の時, Res_{u=0} 1/(\exp(u) - 1) は 0 ではありません.
> 「 u の解」とは何のことですか.

失礼致しました。Prop205.2993の題意は
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__11.jpg
でございます。

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__12.pdf
となってしまったのですが間違った題意があればご指摘賜れば幸いでございます。
3ページ目の冒頭の
1/(∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dx) ∫_0^∞u^{s-1}exp(-u)/((exp(u)-1)exp(-u)) du = 
Σ_{n=1}^∞1/n^s
という等式の証明はどのように始めればいいのでしょうか?
それと5ページ目の末行からはどうすればいいのでしょうか?

「\zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に無数の零点を持つ関数ですよ.」
にて{s∈C;exp(2sπi)-1=0}=Zとばかり思っておりましたが,
「s が整数でないときには原点で分岐する Riemann 面を
考える必要があるし, s が整数の時には普通の複素数平面で
考えれば良い, というだけの話です.」
から{s∈C;exp(2sπi)-1=0}=Zという主張に自信が無くなってしまいました。
実際はどうなのでしょうか?
{s∈C;exp(2sπi)-1=0}=
と書いたら,右辺は何が来るのでしょうか?

>> 取り敢えず
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__33.jpg
>> は問題ありませんよね。
> 二つ目の Proposition で \exp(2 \pi i s) の s が抜けています.

これはどうも有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
>> の題意は間違いで
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__01.jpg
>> が正しい題意なのですね。
> 後者も間違っています.
> \Gamma(s)/(\exp(2 \pi i s) - 1) をつけても
> 1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s)) をつけてもいけません.
> \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du を計算すると,
> - \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
> + i \int_0^{2 \pi}
>      (\epsilon\exp(i\theta))^s/(\exp(\epsilon\exp(i\theta))-1) d\theta
> + \exp(2 \pi i s) \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
> になるのです.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__05.jpg
でいいのですね。有難うございます。

>>> 必要なのは, Re(s) > 1 のとき,
>>> \lim_{\epsilon \to +0} \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>>>  = (\exp(2 \pi i s) - 1) \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
>>> が成立する, ということです.
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_284__00.jpg
>> ですね。了解です。
> はい.

これは何処で必要になるのでしょうか?