工繊大の塚本です.

In article <jud3ed$4uc$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <120720182821.M0326513@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > f(u) = \sum_{n=0}^\infty a_n u^n のベキ級数展開において,
> > a_0 = f(0) = 0, a_1 = f'(0) = 1 \neq 0 であるから,
> > g(u) = \sum_{n=1}^\infty a_n u^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} u^n
> > とすれば良い. \sum_{n=0}^\infty a_n u^n と \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} u^n
> > は同じ収束半径を持ち, g(u) は u = 0 で正則で, g(0) = a_1 = 1 \neq 0
> > です.
> 
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1202__01.jpg

 \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} u^n が複素数平面上で収束することの
理由付けが全然駄目です.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1202__02.jpg
> となりました。
> lim_{h→0}exp(xh)/(exp(h)-1)からどのように進めばいいのでしょうか?

だから, 極限を取るのではないと, 何度も言っています.
 u \exp(x u)/(\exp(u) - 1) = \exp(x u)/g(u) であり,
 \exp(xu)/g(u) は正則関数 \exp(x u) を
 g(0) \neq 0 の正則関数 g(u) で割った関数ですから,
 u = 0 で正則な関数になります.
つまり, u \exp(x u)/(\exp(u) - 1) は u = 0 でも正則な関数に
拡張することが出来ます.
 
> > f(u) = \sum_{n=0}^\infty a_n (u - 2 \pi i)^n
> > だから, h(u) = \sum_{n=1}^\infty a_{n+1} (u - 2 \pi i)^n
> > とすれば, f(u) = (u - 2 \pi i) h(u) です.
> 
> これも
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12005__02.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12005__03.jpg
> とφ(u)がu=2πiで正則である事を示すところで先に進めなくなってしまいました。
> どのようにクリアすれば宜しいでしょうか? 

ひょっとして \exp(u) = (u - 2 \pi i) h(u) の部分も
理解できていませんか. それはもう一度考えていただくとして,

  u \exp(x u)/(\exp(u) - 1) = (1/(u - 2 \pi i))(u \exp(x u)/h(u))

であり, u \exp(x u)/h(u) は, 正則関数 u \exp(x u) を
 h(2 \pi i) \neq 0 の正則関数 h(u) で割った関数ですから,
 u = 2 \pi i で正則な関数 \phi(u) です.
 \phi(2 \pi i) = 2 \pi i \exp(2 \pi x i) \neq 0 ですから,
 \phi(u)/(u - 2 \pi i) は u = 2 \pi i で一位の極を持つ関数です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp