工繊大の塚本です.

In article <jdlolf$9go$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297_1___00.jpg
> と上手くいきました。

 n = 0 から k までの和を何故 n = 1 からの和に書き直すのか,
そのときどうして n = k + 1 までの和にしないのか, というのは,
勿論, k \to \infty での極限だから問題にならないとは言え,
はなはだ疑問です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297_1___01.jpg
> となって,ここから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?

 Lebesgue 積分の定理を使うのであれば,
実部 u_k と虚部 v_k に分けて考えるのが筋違い.

  \sum_{n=0}^\infty | u^{s-1}/\exp((x+n)u) |
   = (u^{Re(s)-1}/\exp(xu)) \sum_{n=0}^\infty (1/\exp(u))^n
   = (u^{Re(s)-1}/\exp(xu))(1/(1 - 1/\exp(u)))
   = u^{Re(s)-1} \exp((1-x)u)/(\exp(u) - 1)

が (0, +\infty) で可積分であることを言えば良い.
 0 < x, Re(s) > 1 であることに注意.

> 素朴な疑問なのですが1/Γ(s))はs=0,-1,-2,…で一位の零点を持ちますよね

そう, だから,

> (つまり,Γ(0)=Γ(-1)=Γ(-2)=…=0)。 

ではなく, (1/\Gamma)(0) = 0, (1/\Gamma)(-1) = 0, etc.

> その時,例えば,s=0,-1,-2,…で正則な関数f(s)を掛けたものf(s)・1/Γ(s)は
> 正則になりますよね?
> 例として,f(x)=cos(x)+1はx=(2n-1)π (但し,n∈Z) で零点を持ちますよね
> (∵f((2n-1)π=0)。 
> そしてg(x)=1という定数関数は明らかに極を持たない
> x=(2n-1)πで正則な関数ですよね。 
> しかもそれらの積f(x)g(x)=cos(x)+1は正則になっていますよね?

「例」にはなっていないようですが, これは何が言いたいのでしょうか.

> 一位の極と一位の零点が打ち消しあうからですよね。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_28__01.jpg
> 因みにこれはProp3.15の(2)の丸3のΣ_{n=0}^∞1/(x+n)^sについてのお話ですよね。 

はい.

> Prop295.297の(iii)　
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__23.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__24.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__25.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__26.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__27.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__28.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__29.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__30.jpg
> と　
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_96__12.jpg
> からζ(s, x)がC\setminus{1}で正則でs=1で一位の極を持つ事が示せますね。

証明というには中途半端な内容であり, 上で私が述べた事等で
修正すべき点がありますが, 一々指摘しません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__27.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__28.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__29.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__30.jpg
> にてΣ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))がs=1,0,-1,-2,…で一位の極を持つ事を
> 示しましたので
> Σ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))は全複素平面で有理型関数となりますね。

示されているとは言えませんし,
 obviously と書いてあるのが obvious でなかったりしますが,
その部分については別にお話しました.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__02.jpg
> でしたね。

 s についての正則性の議論で, どうして広義積分を有限区間の
極限として書いたときの上端 c についての微分が出てくるのです.
これについても何度も言いましたからもう無視します.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_955__05.jpg
> と訂正いたしました。これでいいのですのね。

内容的には M_n が与えられていないので無意味です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_123__00.jpg
> という所まで行ったのですが最後はどうすれば≦1/2^{n+1}を評価できるのでしょうか?

二つ私が述べたことを忘れていらっしゃるようです.
 B_n(x) の x = 1/2 についての対称性(偶関数か奇関数になる)から
 1/2 \leq x_M \leq 1 として良い, ということは先に注意しました.
 \int_0^{x_M} (d/dx) B_{n+1}(x) dx は B_{n+1}(x_M) ではなく,
 B_{n+1}(x_M) - B_{n+1}(0) です.
 B_{n+1}(x_0) = 0 となる点 x_0 を 1/2 \leq x_0 \leq 1 と
なるように取って, 初めて B_{n+1}(x_M)
 = \int_{x_0}^{x_M} (d/dx) B_{n+1}(x) dx を評価できるのです.
半年ほど以前の <110623174053.M0101955@ras1.kit.ac.jp> を
御参照下さい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop200_36__00.jpg
> となったのですが

数学的帰納法は使いません. それから, |s| < N で正則になるのは
 \sum_{n=N+2}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) です.
 |s + n - 1| > (N+2) - 1 - N = 1 ですから,
 |(B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))| < 1/2^n となり,
 Weierstrass の優級数判定法が使えることを既に述べました.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop200_34__00.jpg
> となったのですがどうすれば8行目から9行目へのLaurent変形が出来るのでしょうか?

 (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) は s = 1 - n 以外では正則.
正則関数の有限和は正則. 正則関数はベキ級数で表示可能.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop200_36__01.jpg
> からどうすればs=1,0,-1,-2,…がΣ_{n=0}^∞B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1))の
> 一位の極である事が分かるのでしょうか?

正確には, \sum_{n=N+2}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) が
 |s| < N で正則で, \sum_{n=0}^{N+1} (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
が s = 1, 0, -1, \dots, -N で一位の極を持つ有理関数であることから,
各自然数 N について \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
は s = 1, 0, -1, \dots, -N に一位の極を持つ |s| < N での有理形関数に
なります. 従って,  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
は s = 1, 0, -1, -2, \dots に一位の極を持つ全複素数平面での有理形関数に
なります.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_28__01.jpg
> を使って
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__31.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__32.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__33.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__34.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__35.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__36.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__37.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__38.jpg
> でいいのですよね((i)は未だ懸案中ですが)。

未だ道は遠いようですね.

> 確認なのですが
> 今,Prop3.15の(2)の丸3のΣ_{n=0}^∞1/(x+n)^sについて
> (1/Γ(s))Γ(s)ζ(s,x)=(1/Γ(s))(Σ_{n=0}^∞(B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))+∫_1^∞exp(-xu)u^s/(1-exp(-u))du/u))
> を示しているのですよね。

はい.

> そこで
> s=0,-1,-2,…がΣ_{n=0}^∞(B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))+∫_1^∞exp(-xu)u^s/(1-exp(-u))du/u)部分の一位の極となり,
> s=1,0,-1,-2,…で正則で

違いますよ.

  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
   + \int_1^\infty \exp(-xu) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u

は s = 1, 0, -1, -2, \dots でのみ一位の極を持つ,
全複素数平面での有理形関数です.
全複素数平面から s = 1, 0, -1, -2, \dots を除いたところで正則です.

> 1/Γ(s)がs=0,-1,-2,…が一位の零点となり,

これは良いですが,

> s=1,0,-1,-2,…で正則である

 1/\Gamma(s) は全複素数平面で正則です.

> この四点が言えれば
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_28__01.jpg
> が使えて,(ζ(s,x)=)(1/Γ(s))Γ(s)ζ(s,x)がC\setminus{1}で正則となる
> 証明が完了するのですよね。

はい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__09.jpg
> とすればいいのですね。

上で述べたように間違いです. N^s は何かと勘違いしていませんか.

> これなら確かに
> Σ_{n=0}B_n(x)(-1)^n/(n!(s+n-1)は不要ですね。

不要という意味が違うように思います.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__04.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__05.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__06.jpg

細かい間違いを指摘しても仕方がないでしょうからしませんが,
一体何を示したいのですか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_85__01.jpg
> でいいのですね。

勿論駄目です. t > 0 という条件が何処で効いてくるのか
分かっていないことが良く分かる記述ですね.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__04.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__05.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop196_9__06.jpg
> でいいのですね。

何が良いのでしょうか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_9945__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_9945__01.jpg
> から

図というのは何も証明しません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__06.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__07.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__08.jpg

 \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s なら Re(s) > 1 で考えているので,
 Re(s) - 1 > 0 です. 話が逆です.
今は \int_1^\infty \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du が
全複素数平面で正則であることを証明しようとしているので,
 Re(s) が何であろうとも収束して正則になることを示す必要があります.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__09.jpg
> と漸く解決できました。

頑張って解決して下さい.

> 多分,0への異なる近づき方をさせて結果が一致しない事を確かめるのだと
> 推測しました

その通りですから,

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_1235__01.jpg
> がここからどのように進めばいいのでしょうか?

 \lim_{h \to 0} \bar{h}/h が存在しないことを言えば良い.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop198_8__01.jpg
> から1/Γ(s)が全複素平面で正則である事が分かるのでしたね。

上の URL の page は存在しません.

> 「z-b∈D'」の箇所を取っ払えばいいのですね。

 D' 全体でベキ級数と一致するわけではない.
零でない収束半径を持つことは必要.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_2__10.jpg
> でいいのですね。

こちらは正しい. 後で正しい記述をするなら, ちゃんと前のところも
修正するものでしょう.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Taylor_expansion__00.jpg
> を使って
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_2_2__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_2_2__01.jpg
> となりましたが下から4行目で数列{Σ_{n=1}^k 1/Γ(s) (-1)^n 
> B_n(x)/(n!(s+n-1))}が全複素平面で一様収束する事はどうすれば示せますでしょうか?

そんなものは広義一様収束はしても一様収束はしませんが,
いずれにしてもそんなことは既に必要ないでしょう.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_2996__00.jpg
> となってしまいました。ここから1/2^n 1/√(Re(s)^2-2Re(s)+1+Im(s)^2)
> を抑えれるdominant sequenceは何になりましょうか?

だから, そんな帰納法みたいな話には意味がありません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def__17.jpg
> とすればいいのですね。

 s = 1 以外には極は現れませんよ.
 s = 1 に極が現れる可能性がありますよ.
ちゃんと留数も計算して下さい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Hurwitz_zeta_function__02.jpg
> が正しい定義でしたね。

正しい定義は違うということは何度も言いました.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_24__03.jpg
> より

正確に言うと, \int_0^1 \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du で表示される
 Re(s) > 1 での正則関数は,
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) と Re(s) > 1 で
一致するが, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) は
 s = 1, 0, -1, -2, \dots でのみ(一位の)極を持つ全複素数平面での有理形関数
を表しているから,
 \int_0^1 \exp(-xu) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du で表示される Re(s) > 1 での
正則関数は, s = 1, 0, -1, -2, \dots でのみ(一位の)極を持つ全複素数平面での
有理形関数に解析接続される.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__39.jpg
> が正しい題意になるのですね。

だから, s = 1 が pole であることが抜けています.

> これはProp3_15の(2)の丸1のζ(s,x)についてでしたね。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__85.jpg

解析接続されたものが, \zeta(s) とか L(s, \chi) とか書かれるのです.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_296__01.jpg
> を使って

まあ, 貴方には証明が出来ているとはいえませんが,

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_1_2__06.jpg
> という具合に何とか解決できました。

 \zeta(s, x) が \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s と表示されるのは
 Re(s) > 1 においてであるという細かい点を除けば,
前半はそうなります. 後半は \Gamma(s) を全く書き間違っているので
無意味です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_297__44.jpg
> がProp205.297の正しい題意でしたね。

これも同じように間違っています.

> 1/Γ(s)は全複素平面で正則なので
> 1/Γ(s)=(s+k)G(s)を満たすs=-k(但し,k∈N∪{0})での正則な関数G(s)が存在する事は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2997__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2997__03.jpg
> と上手く証明できました。

貴方は何を前提として何を証明しようとしているのですか.
 \Gamma(s) が s = -k を一位の極として持つことを前提とするなら,
貴方の間違いの多い「証明」を経由する必要なく,
簡単に正則関数 G(s) の存在は言えます.
 \Gamma(s) が s = -k を一位の極として持つことを
どう証明するか, は別の問題です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop198_27__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__18.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__19.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_923__20.jpg
> と漸く解決できました。

 |-1 + (1 + s/k)\exp(-s/k)| \leq (R \exp(R))^2/k^2 であって,
 \leq (R \exp(R))^2/k^4 ではありません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__10.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__11.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__12.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_995__13.jpg
> と解決できました。

 \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s は Re(s) > 1 で考えますが,
 Re(s) - 1 \leq 0 では逆です.
今は全ての複素数 s について正則であることを示したいので,
 Re(s) についての条件はありません.
任意の正の実数 R について Re(s) < R で正則であることを示します.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__14.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__15.jpg
> でいいのですね。失礼いたしました。

一箇所で訂正したら, 遡って前のところでも訂正して置いてください.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_291__03.jpg

示したいのは \epsilon > 0 が十分に小さいときの評価式です.
そういう評価が成立する \epsilon が存在する, ということでは
ありません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_291__04.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_291__05.jpg

結局 \epsilon = 2/3 なら評価式が成立するというだけでは
何の役にも立ちません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__23.jpg

始めから \Gamma(s) の部分を除いて考えた方が良い.
 Re(s) > 0 ではなく, Re(s) > 1 において,

   \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
   = (\exp(2 \pi i s) - 1) \int_0^\infty u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du

を示す. よく見ると C の表示がおかしい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__24.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__25.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__26.jpg
> これで勝負します。

他は既に述べた通り.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_104__01.jpg
> でいいのですね。

まあどうでも良いのですが, s = 1 なら u^{s-1} = 1 とするものでしょう.
因みに, s = 1 なら, ロピタルは使えません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_965__00.jpg

 \exp(2 \pi i s) - 1 と \exp(2 \pi i s - 1) が混同されています.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2923__01.jpg
> となったのですが
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_965__00.jpg
> でexp(2πis)-1=0が一位の零点を持つ事はどうすれば言えますでしょうか?

上の混同をしなければ自明でしょう.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__05.jpg
> でいいのでしたね。

良くありません. 少し下の私のロピタルの定理についての
質問を考えてみましたか. ロピタルの定理と呼ばれるものは
実数上の関数についてのものですよ.

> In article <110916130801.M0100955@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > (2) \sum_{n=0}^\infty u^n/(n+1)! の収束半径は分かりますか.
> 
> lim_{k→∞}(1/(k+1)!)/(1/((k+1)+1)!)=lim_{k→∞}(1/(k+1)!)/(1/((k+1)+1)!)
> =lim_{k→∞}(1/(k+1)!)/(1/((k+2)(k+1)!)=lim_{k→∞}(k+2)=∞なので
> 収束半径は(1/∞=)0ですね。

逆です. 収束半径は無限大です.
 
> > 今考えているのは複素変数の関数です.
> > 問 1. 複素変数の関数について, ロピタルの定理は成立しますか.
> > 問 2. 複素変数の関数が正則関数である場合はどうでしょうか.
> > 問 3. 成立するとして, その証明は実１変数関数の場合と同じでしょうか.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_1023__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_1023__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_1023__02.jpg
> という具合に確かめれましたが

 f, g が z = z_0 で正則な関数で, 共に z = z_0 を m 位の零点とするとき,

  \lim_{z \to z_0} f(z)/g(z)
   = \lim_{z \to z_0} f^{(m)}(z)/g^{(m)}(z)
   = f^{(m)}(z_0)/g^{(m)}(z_0)

が成立するということは事実ですが, それをロピタルの定理とは
普通呼びません. で, その証明が理解できていれば良かったのですが,
 f_m(z) = f(z)/(z - z_0)^m が z = z_0 で正則になることを
示すところで,

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_1023__00.jpg
> でどうすれば
> lim_{h→0}[Σ_{k=m}^∞ f^(k)(z_0)(((z+h)-z_0)^{k-m}-(z-z_0)^{k-m})/k!]/h
> から
> Σ_{k=m}^∞ f^(k)(z_0)lim_{h→0}[(((z+h)-z_0)^{k-m}-(z-z_0)^{k-m})]/h
> と変形できる事はどうして言えますでしょうか?

と, 躓いたようですね. f_m(z) を表す z = z_0 のまわりでの
ベキ級数は f(z) を表すベキ級数と同じ収束半径を持つことから
それは示されます.
 
> > 問 4. f(u) が u = 0 でも正則であることの証明を貴方のようにすることに
> > 意味があると思いますか.
> 
> えっ!?
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__06.jpg
> は定義に忠実に証明したつもりですが。。どうして意味が無いのでしょうか?

 \exp(u) - 1 = \sum_{n=1}^\infty u^n/n! が u = 0 で一位の零点を
持つことはこのベキ級数としての表示から明らかですから,
 g(u) = (\exp(u) - 1)/u は u = 0 で正則で, g(0) = 1 ですから,
 f(u) = u/(\exp(u) - 1) = 1/g(u) が u = 0 で正則であることは
直ちに出ます. 正則関数についての「ロピタル」類似の定理は,
結局, 上を確かめて使っているのですから, 遠回りでしかない.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__27.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__28.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__18.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__19.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__20.jpg
> で宜しいでしょうか?

何がまずいかは既に述べました.

> > 私が言ったのは, ある \epsilon_0 > 0 が存在して,
> > 0 < \epsilon < \epsilon_0 となる任意の \epsilon について,
> > | \epsilon \exp(i \theta)/(\exp(\epsilon \exp(i \theta)) - 1) | \leq 2
> > が成立することを示し,

これは簡単なことの筈なのに,

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2913__00.jpg

  \exp(\epsilon \cos \theta + i \epsilon \sin \theta)

を変形して

  \exp(\epsilon \cos \theta) + \exp(i \epsilon \sin \theta)

に出来ると思っているようでは, 何も出ませんよ.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2913__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2913__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2913__03.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2913__04.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2913__05.jpg
> と取り敢えず示せました。

だから駄目です.

> > 極限が零になることと, 極限をとる前のものが零であることとは
> > 違います.
> 
> すいません。これは
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/Prop205_292__22.jpg
> 何行目の事を仰っているのでしょうか?

【９】というのがおかしいとは思いませんか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__29.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__30.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__31.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_292__32.jpg
> と[8]を削除して手直ししましたがこれでも駄目でしょうか?

 \Gamma(s) を使う事も出来ていないような式は見ません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Cauchy_s_integral_theorem__02.jpg
> でいいのですね。

 C が D に含まれているということが書けていない所を除けば
まあそんなものでしょう.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__07.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__08.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_128__09.jpg
> という具合にsが実数の範囲で調べてみました。

そんな必要は全くありません. 調べても無駄です.
以下を読まなかったのですか.

> > Re(s) > 1 のとき, C = C_\epsilon の \epsilon を 0 に近づけるとき,
> > \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du が　
> > (\exp(2 \pi i s) - 1) \int_0^\infty u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du に　
> > 近付くことを証明するのに, f(u) = u/(\exp(u) - 1)  (u \neq 0)
> > f(0) = 1 という u = 0 の近傍での正則関数の性質を使いました.
> > 複素線積分 \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du が
> > 変数 s についての正則な関数を定義すること
> > を証明するときには C は固定して考えるので,
> > u = 0 となることはありません.

> > また, 複素線積分 \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du が
> > \epsilon に依らず一定の値を持つこと
> > には, 複素数平面から, 実軸の正の部分と, 2 \pi i の整数倍を除いたところで
> > u^{s-1}/(\exp(u) - 1) が一価正則関数であることを用いますが,
> > そこでも u = 0 となることはありません.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_29__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_29__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_29__03.jpg
> という具合にして,
> ∫_c u^{s-1}/(exp(u)-1)duが∀ε∈(0,2π)に対して定数となる事を示してみた
> のですがこれでもいいでしょうか?

貴方は何も示せていません. 一番注意しなければならないのは
 s が整数でないときは u^{s-1} は一価関数ではないので,
 u^{s-1}/(\exp(u) - 1) が一価正則関数である領域として
原点を一周するようなものは取れないことです.
ここでは実軸の正の部分にカットを入れて考えることになります.
 
> ∫_C_{ε_1} u^{s-1}/(exp(u)-1)du-∫_C_{ε_2} u^{s-1}/(exp(u)-1)duと
> 書けるかと思いますが
> 関数u^{s-1}/(exp(u)-1)はC_{ε_1}とC_{ε_2}の内部のu=0で不連続な為,
> ∫_C_{ε_1} u^{s-1}/(exp(u)-1)duと∫_C_{ε_2} u^{s-1}/(exp(u)-1)du双方
> にもCauchyの積分定理は使えない,

勿論, \int_{C_{\epsilon_1}} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du も
 \int_{C_{\epsilon_2}} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du も, だから
零にはならないわけですが, その差が 0 になることを言うには,
 C_{\epsilon_1} と C_{\epsilon_2} の「差」が囲む領域を
考えることになります. そこでは u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は
一価正則なので, Cauchy の積分定理が使えます.

> しからば

これ以下の貴方の考察は全く間違っています.
 
> f(s):=u^{s-1}/(exp(u)-1) (u≠0の時), 1 (u=0の時)と定義すれば

 u/(\exp(u) - 1) ではないので, f(0) = 1 としても意味がありません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/graph087.jpg
> というような経路だと思います。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/graph087.jpg
> の時,C_{ε_1}の反時計回りの曲線から赤矢印よりC_{ε_2}に入り
> 時計回りに回って緑矢印からC_{ε_1}に戻るという曲線は
> 単純閉曲線(この曲線をC_{ε_1-ε_2}と表すことにする)で,

「差」はこれで良いのですが,
それが囲む領域が何か分かりますか.

> 且つ u^{s-1}/(exp(u)-1)は曲線 
> C_{ε_1-ε_2}上とC_{ε_1-ε_2}のannulus(円環)上でも明らかに正則で,

「円環」にしてしまうと一価になりません.

> 且つ その導関数d/du(u^{s-1}/(exp(u)-1))
> =[(s-1)u^{s-2}(exp(u)-1)-u^{s-1}exp(u)]/(exp(u)-1)^2も明らかに
> 連続なのでCauchyの積分定理が使えて,

一価正則性以外には Cauchy の積分定理の条件はありませんよ.

> ∫_C_{ε_1-ε_2}u^{s-1}/(exp(u)-1)du=0となるのですね。
> 故に目出度く∫_C_{ε_1}f(u)du-∫_C_{ε_2}f(u)du=∫_C_{ε_1-ε_2}f(u)du(=0)
> という等式が成立する訳なのですね。

結果はそうですが, 考察が間違っています.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/graph087.jpg
> となって,f(s):=u^{s-1}/(exp(u)-1) (u≠0の時),
>  1 (u=0の時)と定義すればいいのですね。

駄目です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_29__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_29__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_29__03.jpg
> という風にすればu=0を気にせずに済むのですね。

駄目です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/doubly_connected_open_region_Cauchy_integral_theorem__00.jpg
> より
> ε_1とε_2の差は0になりますね。

その定理では駄目です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2985__01.jpg
> でいいのですね。

前半はそうですが, 後半は駄目です.
 1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s)) の極は
 s = 0, -1, -2, \dots では消え,
 s = 1, 2, 3, \dots に残ります.

> > もっとも, Weierstrass の乗積表示では
> > \Gamma(s) の極での留数は分からないから,
> 
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0
> ではRes_{s=-n}Γ(s)=(-1)^n/n! (但し,n∈N∪{0})と留数が載っておりますが。

それは Weierstrass の乗積表示から計算したものではありません.

> > Weierstrass の乗積表示が万能でないことも
> > 知っておかなければなりません.
> 
> 万能でないとはどういう事でしょうか?

留数を計算するには別の解析接続の方法によるのが簡単です.

> そうでしたね。(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/exp(εexp(iθ)-1)は極座標表示なので
> 原点では定義されてませんね。
> なので正則もへったくれもありませんね。

極座標表示であることと正則性とは関係ありません.

> 喩えu^{s-1}/(exp(u)-1)表示でもu=0の時は分母=∞だし,

 s = 2 のときの u/(\exp(u) - 1) は u = 0 で正則だと
考える習慣です.

> s=3/2の時は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_106__00.jpg
> のように分子部分が非正則になりますね。

そもそも u^{1/2} は一価ではありません.

> > しかし s が整数であれば, u\{s-1}/(\exp(u) - 1) は
> > u = 0 の近傍から u = 0 を除いたところで一価正則になります.
> 
> えっ? d/du u^{s-1}/(exp(u)-1) = 
> (s-1)u^{s-2}(exp(u)-1)-u^{s-1}exp(u)/(exp(u)-1)^2となって,
> とくにsが整数でなくてもu^{s-1}/(exp(u)-1)はu=0を除いたところで
> 一価正則になると思うのですが。

「一価」というのが何を問題にしているのか分かっていますか.

> > 留数定理を使いましょう.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/graph083.jpg
> に於いて,u^{s-1}/(exp(u)-1)は半径εの円(単純閉曲線)C_εの内部では
> u=0の時のみ孤立特異点を持つ事は明らかで,
> Isd(C_ε)〓{0}でu^{s-1}/(exp(u)-1)は(s∈Zの時(?))正則とわかりますが

以下が読み取れませんが, s が整数のときの
 u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の原点での留数は分かりましたか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_955__06.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_955__07.jpg
> でいいのですね。

そういう議論の仕方が駄目であることは何度も言いましたが,
まあ分からないでしょうから, 無視しておきます.

> すっすいません。何処で書かれたのでしょうか? ちょっと見つけれませんでした。
> s∈{0,-1,-2,…}∨(ranχ⊂{0,1}∧ranχ≠{0,1})の場合,DL(s,χ)の値は
> どうなるのでしょうか?

 L(s, \chi) の表示式があるのだから, それを使えば良い.
そもそもどうして 0 になると思うのですか.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2923__03.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2923__04.jpg

 \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du は正則ですが,
勿論定数ではないので, 導関数は定数関数 0 ではありません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_293__01.jpg
> となってしまい、ζ関数がC〓{0}で正則なのでs=1で一位の極を持たないので

 1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s)) は s = 1, 2, 3, \dots に
一位の極を持ちます. そこが違います.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__00.jpg
> にてlim_{s→1}ζ(s)でRes_{s=1}ζ(s)は求められないと思うのですが。。。

一位の極になっているので求められます.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_2_4__00.jpg
> からどのようにしてs-1を約分できるのでしょうか?

分かっていませんね.

  \lim_{s \to 1} (s - 1)/((\exp(2 \pi i s) - 1)
  \lim_{s \to 1} 1/\Gamma(s) = 1/\Gamma(1)
  \lim_{s \to 1} \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du = \int_C du/(\exp(u) - 1)

を計算すれば,

  \lim_{s \to 1} (s - 1) \zeta(s)

が計算されます.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__84.jpg

見たくないです.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__12.jpg
> で一応,s=1で特異点を持つようですが
> どのようにしてLaurent展開すればいいのでしょうか?

 s = 1 で一位の極を持つ有理関数と
 s = 1 で正則な関数の和に
 s = 1 で正則な関数を掛けたものの幾つかの和
の Laurent 展開が求められないのは困ったことです.
正則関数のベキ級数表示(Taylor 展開)を使って
先ず書き表して, それを展開して見ることです.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__12.jpg
> なら宜しいでしょうか?

 s = 1 での留数は計算しましたか.

> ん? なんか命題3.15の(2)の丸3のΣ_χ(n)/n^sについての
> C\setminus{0}での正則性の事を繰り返し述べてるようですが

 C \setminus {0} とは何のことでしょう.
貴方が変に Re(s) \leq 0 の場合を持ち出したから混乱しただけでしょう.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__12.jpg
> でいいのででしょうか?

 L(s, \chi) が s = 1 を除いて正則であり,
 s = 1 が高々 1 位の極であることは
その表示から読み取れます.

> いっいえ、Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^sが収束するような複素数sについては

そういう言い方をすると, 一般的には Re(s) > 1,
 \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} のときには Re(s) > 0 で,
ということになってしまいます.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_Dirichlet_L_function__01.jpg
> という風にΣ_{n=1}^∞χ(n)/n^sをΓ(s)を使って書き直せるという主張です。

 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s を解析接続した L(s, \chi) が
最後の形に書けるということを既に見ているのに今更何を言うのです.

> > だから, s = 0, -1, -2, \dots で L(s, \chi) = 0 というわけではありません.
> 
> えー!?  ではどのように訂正すればいいのでしょうか?

 L(s, \chi) は有理形関数として全複素数平面上で書けたのだから,
 s についての場合分けは不要です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__08.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__09.jpg

 \sum_{n=4}^\infty (B_n(a/N)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) が |s| < 2 で
正則であることは既に述べました.
 (B_n(a/N)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) は n = 1, 2, 3 についても
 s = 1 で正則ですから,
 \sum_{n=1}^\infty (B_n(a/N)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) は s = 1 で正則です.

 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) (1/(N^s \Gamma(s))) (1/(s - 1))
 = (1/(s - 1)) (1/(N^s \Gamma(s))) \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)
 = 0

なのだから, 後は

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__10.jpg

も含めて, 必要がない.

> ところで繰り返しかもしれませんが相変わらず一行目が分からないのですが
> どうして(0,1]のみでの正則性を示すだけで十分なのでしょうか?

一行目というのも (0, 1] というのも何を指しているのか分かりません.

 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は一般に Re(s) > 1 で正則です.
 \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} であれば, Re(s) > 0 で正則です.
 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は全複素平面に有理関数 L(s, \chi)
として解析接続され, L(s, \chi) は s = 1 を除いたところでは正則で,
 s = 1 を高々一位の極として持ちます. このことから,
 \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} であれば, L(s, \chi) は
全複素数平面上で正則であることが分かります.
そのことは, L(s, \chi) の s = 1 での留数が一般に
 (1/N) \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) であることからも分かります.
高々一位の極になっている時, 留数が零であれば, それは極ではなく
正則点であるからです.

> 一応,
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__11.jpg
> となりました。

形式的にはそうです.

> 一方
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2995__03.jpg
> から

それから分かるのは \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} であれば,
 Re(s) > 0 で \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s が正則であることです.
次の論拠にはなりません.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__12.jpg
> ともなったのですが

だから, \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} であれば,
 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) = 0 なので,
 L(s, \chi) の s = 1 での留数は零になり,
 L(s, \chi) は s = 1 で正則になります.

> これも間違いでしょうか?

だから, どちらも,  \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} であれば,
 L(s, \chi) が s = 1 でも正則だということを示しているのです.

> これは今,1≦Nでχ∈DC(N)でχ(Z_N^×)≠{1}なのでs=1でなくても

 s = 1 というのは Re(s) > 0 の範囲内にあるので, です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2995__03.jpg
> からΣ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(N^sΓ(s))=0と言えるのですね。

勿論, 正則なのだから, 留数が零であるというのは正しい.

> 取り合えず
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__11.jpg
> という具合に成るのですね。この場合は係数はa_k=d^k/ds^k(1/(N^sΓ(s)))|_{s=1}/k! 
> となるのですね。

はい.

> ところで
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__13.jpg
> からどのようにしてs=1で正則である事を示せばいいのでしょうか?
> (どうしても1/s-1の部分が残ってしまうのですが)

それは最後の所で \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) を飛ばしているからです.

> つまり,高々1位で留数が0だというのだから
> Laurent展開すればf(s)=Σ_{n=0}^∞a_n(s-a)^n+0/(s-a)という形になる
> という意味ですよね。

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop192_10223__00.jpg
> の(i)⇔(ii)ですね。

大体良いのですが, 普通, その記号の使い方では
 f(y) = \sum_{n=0}^\infty a_n (y - x)^n とするのが
 x のまわりでのベキ級数です.
 (iii) は変です.

> え゛っ!?  どっどうしてでしょうか?

述べられるのは, \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} であれば,
 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s が Re(s) > 0 で収束して
正則関数を表すことです. L(s, \chi) が「収束する」というのは
意味のない言明です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__14.jpg
> という論拠だと思います。

 L(s, \chi) が, \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} であれば,
 s = 1 でも正則になることには
二通りの証明法があります.
二つの議論をごっちゃにしないで下さい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_9__00.jpg
> を示してから
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2995__03.jpg
> を示して,
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_3_3__13.jpg
> を示すのですね。といっても
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_295__13.jpg
> で頓挫しておりますが。

既に述べたことで, 整理し直して下さい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop205_2995__03.jpg
> より

「より」というのが分かっていない証拠.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15_1_3__04.jpg
> とすればいいと思うのですが、、いかがでしょうか? 

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) (1/(N^s \Gamma(s))) 
   (\sum_{n=0}^\infty (B_n(a/N)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
    + \int_1^\infty \exp(- a/N u)/(1 - \exp(-u)) u^{s-1} du)

という L(s, \chi) の表示は全複素数平面上での有理形関数を与えているので,
「 Re(s) > 0 で収束」というのはナンセンス.
 \chi((Z/NZ)^\times) \neq {1} であれば,
 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は Re(s) > 0 で収束して,
 Re(s) > 0 での正則関数を表すので, 当然その解析接続である
 L(s, \chi) も Re(s) > 0 で正則である, というのがここでの主張.
因みに, \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は Re(s) > 1 では
絶対収束しますが, Re(s) > 0 ではその保証がない.

  \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
   = \sum_{m=0}^\infty (\sum_{a=1}^N \chi(a)/(mN + n)^s)

と書き換えた時の後者が絶対収束しているだけです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp