ご回答誠に有難うございます。

> \lim_{u \to 0} u/(\exp(u) - 1) = 1 ですから,
> 正の数 1 (を \epsilon とかんがえるときそれ)に対して
> 正の数 \delta があって,
> |u| < \delta なら |u/(\exp(u) - 1) - 1| < 1 となる
> ことは「極限」の定義から自明です.
> このとき |u/(\exp(u) - 1)| < 1 + 1 = 2 となることも自明です.
> その \delta として \pi/2 が取れることを示すことには,
> 示せたとしても, 意味はないでしょう.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2913__8.jpg
とお蔭様で上手くいきました。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__00.pdf
>> でございます。
> 証明しようとしている命題が間違っているようですが,
> それはさておき,

もしかして正しい題意は
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__05.jpg
でしょうか?

>>> - \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
>>> + \exp(2 \pi i s) \int_\epsilon^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
>> の部分は被積分関数が全く同じではないので
>> (見た目は違えどもしかしたら同じかもしれないのですが)
> 全く同じでしょう. どこが違うというのです.

そうでした。失礼致しました。

>> -∫_ε^∞ x^{s-1}/(exp(x) - 1) dx+exp(2πis)∫_ε^∞ x^{s-1}/(exp(x)-1)
>> dx
>> を取りあえず計算してみて
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__01.jpg
>> に行き着いたのですがここから先に進めずにおります。
> どうしてそういう不思議な式に行き着くのでしょう.
> x は正の実変数ですよ.

そうでした。

> s は複素数だから,
> x^{s-1} = x^{Re(s)-1}(\cos(Im(s) \log x) + i \sin(Im(s) \log x))
> にはなりますが, \exp(x) - 1 はただの実数です.

これもそうですね。

>>> が合わせて 0 になるという話です.
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__01.jpg
>> という積分値がどうして0になるのでしょうか?
> その式は間違っていますが, 0 になる理由は
> s が整数であれば, \exp(2 \pi i s ) = 1 だからです.

納得です。

>>> \int_{\gamma_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>>> は, s が整数であれば,
>> 被積分関数は
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_281__02.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_281__03.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_282__00.jpg
>> という風に一価関数になる事は分かりましたが
> 今 s が整数のときの話をしようとしているのに,
> s が整数ではないときに u^{s-1}/(\exp(u) - 1) が一価ではない
> という話を持ち出して, 何を言おうとしているのですか.

そうでしたね。

>>> 通常の閉曲線上での正則関数の
>> どうしてu^{s-1}/(exp(u)-1)がγ_ε上で正則関数とわかるのでしょうか?
> u^{s-1} も \exp(u) - 1 も(一価の)正則関数ですし,
> 十分に小さな \epsilon に対しては \exp(u) - 1 は
> \gamma_\epsilon 上では 0 になりませんから.

ここでのγ_εとは
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2992__00.jpg
の曲線Cの事でいいのですよね?

>>> 線積分になりますから,
>> 今,sは整数なのでu^{s-1}/(exp(u)-1)は一価関数なので
>> 複素積分可能(複素平面上で線積分可能)になりますね。
>> > 原点での留数から計算できます.
>> すいません。これはどういう事でしょうか?
> 留数定理が使えませんか.

留数定理とは
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__00.jpg
ですよね。

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2992__00.jpg
ではγ_ε(つまり,C:z(t))は閉曲線となりましたが,一方
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__06.jpg
(2π>εと加筆しました)ではL_ε上を∞からεまで来て,C_εを一周して,M_εに乗り移る時には,2葉目のRiemann面に移ってしまっているのでC_εは閉じてはいないんですよね。

どちらが本当なのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__00.pdf
>> の末行を直接積分計算していくのは困難なのでしょうか?
> 困難でしょう. そもそもその式が合っていることを
> 確かめてはおりませんが.

取り敢えず
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__07.pdf
となったのですが
下から8行目の∫_ε^∞exp((s-1)ln(x))/(exp(x)-1) dx∈C
となる事はどうすれば言えるのでしょうか?
そして,末行において,Res_{u=0}u^{s-1}/(exp(u)-1)=0からuの解はどのように求まるのでしょうか?

>>> その話には関知しません.
>> すっすみません。どうしてでしょうか?
> おっと, 失礼. 見間違えました.
> <http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg>
> の問題は
>  \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> が \epsilon に依らない, という話に,
> 1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s)) をくっつける意味が
> 差し当たりないことです.

??
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg
ですか?

取り敢えず
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__33.jpg
は問題ありませんよね。

>> えっ
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2901__00.jpg
>> の題意自体間違っておりますでしょうか?
> 間違っているでしょう.

このような等式は無いのですね。これも削除します。

>> 誠に誠に誠に申し訳ありません。
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__04.jpg
> これは間違いではないですが,

∫_c u^{s-1}/(exp(u)-1) du部分は既に定数と分かったので
それに定数
sexp(sγ)Π_{k=1}^∞(1+s/k)exp(-s/k)/(exp(2πis)-1)をくっ付けても定数である事は自明ですね。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2901__00.jpg
> この最初の式の右辺は Re(s) > 1 において成立する式
> \Gamma(s) \zeta(s) = \int_0^\infty u^{s-1} \exp(-u)/(1 - \exp(-u)) du
> を変形したものですから, 左辺とは一致しません.

了解です。これも削除します。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
> (1/((\exp(2 \pi i s) - 1) \Gamma(s))) \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> は \zeta(s) の一つの表現になります.

有難うございます。迚も参考になります。

> しかし, その計算は間違っていますし, 証明にはなっていません.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__00.jpg
の題意は間違いで
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2902__01.jpg
が正しい題意なのですね。

>> らの相互関係について混乱しております。
>> 一応,これら各命題の題意は正しいのでしょうか?
> 確かに混乱していますね.

申し訳ありません。

>> 偽若しくは無意味な題意がありましたらご指摘賜れば幸いでございます。
>> どうかお助けください。
> 上記の通りです.
> 必要なのは, Re(s) > 1 のとき,
> \lim_{\epsilon \to +0} \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>  = (\exp(2 \pi i s) - 1) \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx
> が成立する, ということです.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_284__00.jpg
ですね。了解です。