ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1202__03.jpg
>> ともしてみたのですが大して変わりませんね。
>> 一体何故,ぜんぜんダメなのでしょうか?
> \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} u^n が収束するのは
> \sum_{n=0}^\infty a_n u^n と同じ収束半径を持つからです.

同半径になる事はどうして分かるのでしょうか?

> 収束することを用いて (\exp(u) - 1)/u が u = 0 まで正則に拡張される
> ことを示そうとしている時に,
> \sum_{n=0}^\infty a_n u^n が u = 0 では 1 となり,
> u \neq 0 では (\exp(u) - 1)/u に一致することを言って,
> 正則関数のベキ級数展開だから収束する,
> といった形の論理を使うのは「論点先取の誤謬」です.

ん? つまり,
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1001__00.jpg
はProp192.1202の後に証明されうる命題だからProp192.1202を証明するのにProp192.1001を使用する事は出来ないという事でしょうか?

http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1202__05.jpg
としてみましたが単なる悪あがきですね。

それならばどうすればいいのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1202__04.jpg
>> でいいのですね。
> "\exp(xu) and \phi(0) are holomorphic at u = 0"
> という文章は変だと思いませんか.

"\exp(xu) and \phi(u) are holomorphic at u = 0"とすべきでしたね。
直ちに訂正致しました。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12005__04.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12005__05.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12005__06.jpg
>> でいいでしょうか?
> \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (u - 2 \pi i)^n が収束するベキ級数である
> ことの論拠の所が全然駄目です.

やはり
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1001__00.jpg
は使用不可なのですね。
その場合は一体どうすればいいのでしょうか?