ご回答誠に有難うございます。

>> では結局
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__14.jpg
>> で「f(Z)=」の右辺は何と書けるのでしょうか?
> s が整数であるときの \int_C u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du の値は
> 2 \pi i 倍の u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の u = 0 での留数です.

f(Z)={2πi Res_{u=0}u^{s-1}/(exp(u)-1)∈C;s∈Z}と書けるのですね。

>  u/(\exp(u) - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
> ですから,
>  u^{s-1}/(\exp(u) - 1) = u^{s-2} \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
> であり, s が 2 以上の整数であれば,
>  u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は u = 0 で正則ゆえ 0,
> n を非負の整数として s = 1 - n なら 2 \pi i (B_n/n!)
> になります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__01.pdf
とお陰様で漸く解決できました。

>>> Re(s) \leq 1 なら \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は,
>>> x = 0 の所での発散の所為で, 発散します.
>> これはどうして発散と分かるのでしょうか?
> 充分小さな x > 0 に対して, |x^{s-1}/(\exp(x) - 1)| > (1/2) x^{Re(s) - 2}
> であり,

そのようになりますね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__01.jpg

>>> Re(s) \leq 0 どころか, Re(s) \leq 1 で発散です.
> Re(s) \leq 1 なら \int_0^1 x^{Re(s) - 2} dx は発散です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__02.jpg
となりました。

これらから分かった事は∫_0^∞|x^{s-1}/(exp(x) - 1)|dx=∞という事ですが
それからどうして
Re(s)≦1 なら |∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x) - 1) dx|が発散と言えるのでしょうか?

>> そうでしたか。すると
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__00.jpg
>> にて(ii)はどのように対処すればいいのでしょうか?
> Re(s) > 1 なら問題ありません. 充分小さな x > 0 に対して,
> |x^{s-1}/(\exp(x) - 1)| < 2 x^{Re(s) - 2} ですから.

これについてもこれからどうして
|∫_0^1 x^{s-1}/(exp(x)-1)dx|<∫_0^1 x^{Re(s)-2}が言えるのでしょうか?

>> {1/2,2,3,4,…}以外についてはまだ知られてないのですね。
> 随分と勘違いをされているようです.

これは失礼致しました。

>> 何故 1/2 が紛れ込んでいるのかは謎です.
>> 前々記事で「\zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に無数の零点を持つ関数ですよ.」
>> という事でしたので1/2を付け加えました。
> Re(s) = 1/2 の上に無数の零点があることは分かっていますが,
> s = 1/2 は零点ではありません.

そうでしたか。覚えておきます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__00.jpg
> |\exp(-u)| < 1 となるのはどういう時かわかっていますか.
> u = 0 で成立しますか.

そうでした。失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__01.jpg
これでいいのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__38.jpg
>> と上手くいきました。
> 実は u > 0 でも u \to 0 で \exp(-u) \to 1 ですから,
> 和 \sum_{n=1}^\infty \exp(-nu) は一様収束ではありません.
> この話は以前に注意した筈です.

これも失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__39.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__40.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__41.jpg
なら宜しいでしょうか?

>> 因みに
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__00.jpg
>> で「(C\setminus{0})×C」としているのは
>> u=0の複素数乗は定義されないので「\setminus{0}」を付け加えました
>> (u^s:=sln(u)=s(ln|u|+iarg(u))より,ln|0|は定義されない)。
> 無駄な一般化の前に, 必要になる部分についての事実を
> 確認しましょう.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__01.jpg
で宜しいでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__00.pdf
>> 取り敢えず計算してみたのですが
>> どうしても第3項目がexp(2πis)∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)duとなりません。
>> 何処が間違っているのでしょうか?
> u^{s-1} = \exp((s-1)\log u) であり,
> \log u = \log |u| + i \arg u であり,
> 積分路の最初の部分では \arg u = 0 と定めていて,
> u^{s-1} = \exp((s-1) \log |u|) であるのに対し,
> 積分路の最後の部分では \arg u = 2 \pi となるので,
> u^{s-1} = \exp((s-1)(\log |u| + 2 \pi i))
>  = \exp((s-1) \log |u|) \exp(2 \pi i s)
> となるというだけのことです.

有難うございます。お陰様で漸く解決できました。

> 途中の不思議な計算は無視しておきます.

すみません。何処の箇所でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.jpg
>> の(i)と(iii)がにっちもさっちもいきません。一体どうすればいいのでしょうか?
> 多価関数として u^s を考えると, Re(s) > 2 でも
> s が実数でないと |u^s| を制御できないので,
> (i) は撤回しておきます.
> いずれ (i) は必要のないことでした.

了解です。

> (iii) は u^{s-1} が一価でないので当たり前です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.pdf
で大丈夫でしょうか?

>>> だから, s が整数でない場合は多価関数 u^{s-1}/(\exp(u) - 1) を
>>> u = 0 を含む領域では, 普通, 考えません.
>> そうだったのですか。sが有理数の時は0^sは考えられるとしても
>> sが無理数の場合も0^sは考えないものなのでしょうか
>> (つまり,s∈C\setminusQの時は0^sは定義されない)?
> 複素関数としてであれば, 普通, u^s の u = 0 での「値」は
> s が非負の整数でなければ考えません.

0^0はケースバイケースで1と定義されてたり,0と定義されたりするし,
sが負整数の場合はu^s|_{u=0}=1/u^-s|_{u=0}=1/0^-s=1/0で定義されないからなのですね。

>>> Re(s) > 2 であれば, \lim_{u \to 0} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) = 0
>>> となるので,
> これも撤回しておきます. s が実数でないと意味がありませんでした.

了解です。

>>> u = 0 での u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の値を 0 と定めれば,
>>> どんな分枝で考えても u = 0 では連続になります.
> これも撤回しておきます. s が実数でないと意味がありませんでした.

了解です。

>>> そんなもののローラン級数展開やら留数やらを考えることも
>>> 出来ません.
>> え? それはどうしてなのでしょうか?
> ローラン級数展開の存在は, 特異点の周りの円環領域で
> その関数が一価正則であるときでないと保証されません.

Laurent展開の定義からそうでしたね。了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__01.jpg
>> でいいのですね。
> 上で述べたことをご参照ください.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_265__07.jpg
>> というのがLaurent展開できる条件で,
> ちょっと不正確ですが,

訂正致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_laurent__00.jpg
なら如何でしょうか?

>> 今u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0にて非正則である事を
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__03.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__04.jpg
>> として示そうと試みたいのですがどのようにして
>> u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0でs-2位の零点を持つが非正則と分かるのでしょうか?
> s が 2 以上の整数であれば, u = 0 でも正則ですよ.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.pdf
でいいのですよね。

>> 後, s∈C\setminusZの時,u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0にて非正則である事は
>> このような証明で宜しいでしょうか?
> それは証明になっていないでしょう.
> u = 0 の周りで一価でないというだけで十分です.

そうですね。

>> 取り敢えず
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__02.jpg
>> でいいのですね。
> 上記を御参照下さい.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__03.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__04.jpg
でいいのですね。

>>> u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の u = 0 での留数は,
>>> s = 1 の時 1 ですが, s が 1 より大きい整数の時は 0 です.
>>> s が 0 以下の整数の時は,
>>> u/(\exp(u) - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
>>> でしたから, s = 1 - n  (n は自然数) とすれば,
>>> 留数は B_n/n! になります.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__00.pdf
>> とお蔭様で上手くいきました。美しいです。
> お分かりになったのでしょうか.

えっ? どういうことでしょうか?

>> それではi∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(εexp(iθ))-1) dθの値は何になるのでしょうか?
> Re(s) > 1 のとき, \epsilon \to 0 で \to 0 になることさえ
> 分かれば良いので, 具体的な値は必要ありません.

了解です。

>> Re(s)>1の時には-∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx
>> +i∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(exp(iθ))-1)dθ+exp(2πis)∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx
>> は(exp(2πis)-1)∫_0^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)duと表示されるのですね。
> そうです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2836__00.jpg
にて,Prop205.2836を示すにはProp205.2835をどのように利用すればいいのでしょうか?

>>> s が整数であってもなくても同じです.
>>> s が整数なら, その値を計算することが出来るというだけです.
>> その計算は∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)du=(exp(2πis)-1)Γ(s)ζ(s)を用いてでしょうか?
> いいえ, u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の留数を用いてです.
> それから \zeta(s) の s が非正の整数の時の値が計算できるでしょう.

取りあえずs∈C\setminusZなら
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__01.pdf
でいいのですね。
あと
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__00.pdf
となったのですが8ページの上から4行目でつまづいてます。
∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)duがどうしてC上で正則と言えるのでしょうか?
そして,9ページの上から3行目で∫_ε^∞exp((s-1)ln(x))/(exp(x)-1)dx∈Cとなる事と 

∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)duがN\setminus{0,1}でのみ一位の零点を持つ事はどうすれば言えますでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__02.jpg
>> となったのですがこの先どうすればいいのでしょうか?
> 何がしたいのですか.

失礼致しました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__02.pdf
とこれで大丈夫でしょうか?