ご回答誠に有難うございます。

>>> おやおや. それでは指数関数の前に対数関数が定義されているのですか.
>>> では, 対数関数の微分はどのように求めましたか.
>> y=ln(x)とすると
>> dy/dx=lim_{h→0}(ln(x+h)-ln(x))/h=lim_{h→0}1/h ln(1+h/x)
>> =lim_{h→0}1/x ln(1+h/x)^{x/h}=1/x lim_{h→0}ln(1/h/x)^{x/h}
>> =1/x lim_{h/x痲yョ}ln(1+h/x)^{x/h}=(1/x)ln(e) =1/x
>> となると思います。
> ま, そこで, \lim_{t \to 0} (1/t) \log(1+t) = 1 が示されて
> いますが, e^x - 1 = t とおくことで, それから
> \lim_{x \to 0} (e^x - 1)/x = \lim_{t \to 0} t/\log(1+t) = 1
> は直ちに出てくるので, 当然, \lim_{x \to 0} (e^x - 1)/x = 1
> は知っているべきことであり, 普通, 逆関数の微分法より前に
> 習うだろうと思います.

そうでしたか。了解です。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2993__13.jpg
>> ならいいのですね。
> { s \in Z ; s \in f^{-1}(0) } というのは Z \cap f^{-1}(0)
> のことですから, \mathbf{C} \setminus [1, \infty) にはなりません.

そうでした。では結局
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__14.jpg
で「f(Z)=」の右辺は何と書けるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2823__03.jpg
>> と訂正致しました。これで有限個の孤立特異点は全てC内部に入る事になります。
> そのような書き方では, C の外部に孤立特異点がある場合の
> 扱いが窮屈ですね.

そうでしたか。ちょっと改良を試みたいと思います。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_9946__01.jpg
>> という風に訂正致しました。これなら如何でしょうか?
> 無用にくだくだしいですが, 間違ってはいないでしょう.

有難うございます。

>>>>> それなら [Prop205.29923] はほぼ無問題ですが,
>>>>> \epsilon は \epsilon > 0 でないといけませんし,
>>>> えっ? (iv)は間違いなのでしょうか?
>>> はい.
>> えっ
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__01.jpg
>> の何処が間違っているのでしょうか?
> おっと, \epsilon > 0 に反応されたので, (iii) の方を
> 指しているものだとばかり思っていました. 間違っているのは
> (iv) ではなく (iii) です. \epsilon \in [0, 1] とすれば,
> \epsilon = 0 の場合を含みます.

ただε∈(0,1]とすれば良かっただけなのですね。

>>>>> (ii) は間違いです.
>>>> えっ? Re(s)≦0の場合は∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)^1)dxは
>>>> どう対処すればいいのでしょうか?
>>> \Gamma(s) がそのように積分表示されるは Re(s) > 0 のときだけです.
> 私は Re(s) > 0 での \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx
> について述べました.

よく観ると
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__00.jpg
での(ii)での∫_0^∞ x^{s-1}/(exp(x)-1) dxはRe(s)>0でのGamma関数の形にはなっていないですね!
Re(s)>0でのGamma関数なら∫_0^∞ x^{s-1}/exp(x) dxという形の筈でしたね。

すると
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__00.jpg
での(ii)の「∫_0^∞ x^{s-1}/(exp(x)-1) dx-∫_1^∞ x^{s-1}/(exp(x)-1) dx (if
Re(s)≦0)」の箇所は
元からGamma関数ではないのに[Prop196.85]を勘違いして使ってしまった点にあるのですね。
納得です。

>>> Re(s) \leq 0 のときはそこから解析接続したものを考えます.
>> 単に∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)^1)dxという積分値についての命題なら
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29923__02.jpg
>> と答えざる得ないのですね。
> そこの式を見ると (\exp(x)^1) というのは (\exp(x) - 1) の
> 誤りなのですね.

そうでした。

>> 参考としてお伺いしたいのですが
>> Re(s)≦0の時,∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dxは計算不能なのでしょうか?
>> または発散するのでしょうか?
> Re(s) \leq 1 なら \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は,
> x = 0 の所での発散の所為で, 発散します.

これはどうして発散と分かるのでしょうか?

>> それともRe(s)≦0の時,∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dxの結果は
>> 未だ知られていないのでしょうか?
> Re(s) \leq 0 どころか, Re(s) \leq 1 で発散です.

そうでしたか。すると
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__00.jpg
にて(ii)はどのように対処すればいいのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2925__03.jpg
>> なら宜しいでしょうか?
> 先ず \epsilon は任意の正数ではなく, 十分小さな任意の正数です.
> (\epsilon < 2 \pi は必要です.)
> それから \phi(s) の零点は「ここだけ」という形の主張は
> 出来ません. 「ここには」 \phi(s) の零点がある, の形の
> 主張にしましょう.

{1/2,2,3,4,…}以外についてはまだ知られてないのですね。

> 何故 1/2 が紛れ込んでいるのかは謎です.

前々記事で「\zeta(s) は Re(s) = 1/2 上に無数の零点を持つ関数ですよ.」
という事でしたので1/2を付け加えました。

>>> 二行目・三行目では \sum は \int の外側に置くべきです.
>>> 四行目に移行するときに, \sum を \int の中に入れて良い
>>> ことも述べるべきです.
>> えっ? ∫_0^∞exp(-x)x^{s-1}dxΣ_{n=1}^∞1/n^s=∫_0^∞Σ_{n=0}1/n^s
>> exp(-t)t^s dt/tは通常の積分の性質ではないですか。
> 「通常の積分の性質」を使って
> (\int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx)(\sum_{n=1}^\infty 1/n^s)
>  = \int_0^\infty (\sum_{n=1}^\infty 1/n^s) x^{s-1} \exp(-x) dx
> と書き直してしまうと, 次のステップである,
> n ごとに異なる変数変換 x/n = u が実行できません.

なるほど。これは参りました。

> 「通常の無限和の性質」を使って
> (\int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx)(\sum_{n=1}^\infty 1/n^s)
>  = \sum_{n=1}^\infty (\int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx)/n^s
>  = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty (x/n)^s \exp(-x) dx/x
> と書き直せば,
>  = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty u^s \exp(-nu) du/u
> になります. そこで \sum を \int の中に入れることになります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__38.jpg
と上手くいきました。因みに
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2917__00.jpg
で「(C\setminus{0})×C」としているのは
u=0の複素数乗は定義されないので「\setminus{0}」を付け加えました
(u^s:=sln(u)=s(ln|u|+iarg(u))より,ln|0|は定義されない)。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2835__00.jpg
>> と上手くいきました。
> はい.

有難うございます。

>> それと
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__36.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_292__37.jpg
>> という手順で∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1) du=(exp(2πis)-1)Γ(s)ζ(s)を
>> 示すやり方は不味いでしょうか?
> ところどころ式が間違っていること

えっ? 何処が間違っておりますでしょうか。

> を除けば,
> 掛け算で等式を書いておこうが割り算で書いておこうが
> 分母が零にならない所では同じことですから,
> そして零になるところを極として扱えば
> 有理形関数としては同じですから,
> 同じことです. 但し, 上でも注意したように,
> n ごとに異なる変数変換を一つの積分の中で同時に行うことは
> 出来ません.

了解です。勉強になります。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2915__03.jpg
>> とお蔭様で上手くいきました。
> はい.

有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__06.jpg
>> は一体何のようにして示せるのでしょうか?
> 複素線積分の計算式からそうなることは
> 既に納得したのではないのですか.

そっそうでしたか。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__00.pdf
取り敢えず計算してみたのですがどうしても第3項目がexp(2πis)∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)duとなりません。　何処が間違っているのでしょうか?

>> 取り敢えず
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2821__01.pdf
>> という具合にu=0で微分可能という事は確認できそうですが,
> s = 2 の場合の u/(\exp(u) - 1) が u = 0 での正則関数になる,
> という話は, もう繰り返しません.

[Prop205.2821]の(ii)については既に証明済みな命題でした。
すみません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.jpg
の(i)と(iii)がにっちもさっちもいきません。一体どうすればいいのでしょうか?

>> 0^sや0^{s-1}は複素数の累乗の定義から0^s=exp(sln|0|+iarg(0))となり
>> ln|0|部が定義されないで結局,0^sや0^{s-1}の値が何になるのか分かりません。
>> どのように解釈したらいいのでしょうか?
> だから, s が整数でない場合は多価関数 u^{s-1}/(\exp(u) - 1) を
> u = 0 を含む領域では, 普通, 考えません.

そうだったのですか。sが有理数の時は0^sは考えられるとしても
sが無理数の場合も0^sは考えないものなのでしょうか
(つまり,s∈C\setminusQの時は0^sは定義されない)?

> しかし,
>> それとRe(s)>2という条件は一体何処で使用すればいいでしょうか?
> Re(s) > 2 であれば, \lim_{u \to 0} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) = 0
> となるので,

=0となる事はどうすれば分かるのでしょうか?

> u = 0 での u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の値を 0 と定めれば,
> どんな分枝で考えても u = 0 では連続になります.

つまり,Re(s)>2かs=2ならf(u):=u^{s-1}/(exp(u)-1)はu=0で連続,
Re(s)≦2且つs≠2ならf(u):=u^{s-1}/(exp(u)-1) (u≠0の時), 0 (u=0の時)
とすればfはu=0で連続となるという事ですね。

> 気持ちが悪ければ, その部分は省いても良いでしょう.

了解です。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_968__00.jpg
>> ぐらいしか分かりませんでした。
>> [Prop199.968]は一体どのように対処したらいいのでしょうか?
> s が整数でなければ, u^{s-1}/(\exp(u) - 1) は,
> u = 0 のまわりでは, 一価になる分枝が取れませんから,

主値の偏角Arg(u)をどの区間[2(n-1)π,2nπ)(但し,nは整数)に採ってもsが整数でなければu^{s-1}/(exp(u)-1)は多価関数になってしまうのですね。

> そんなもののローラン級数展開やら留数やらを考えることも
> 出来ません.

え? それはどうしてなのでしょうか?

> s が整数の時はそれで良い.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__01.jpg
でいいのですね。

>>> s が整数でなければ u = 0 は分岐点になるので,
>>> u = 0 のまわりで u^{s-1}/(\exp(u)-1) は一価正則では
>>> なくなります.
>> 多価正則になるのですね。
> ある点のまわりで,
> というのは, ある点を含む領域を取ってということですが,
> ある点のまわりでは一価になる分枝を選ぶことが出来て,
> 各分枝が正則なら, 多価正則ということになりますが,
> u = 0 を含む領域では一価になる領域はありませんから,
> u = 0 では多価正則というわけでもありません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_265__07.jpg
というのがLaurent展開できる条件で,
今u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0にて非正則である事を
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__03.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__04.jpg
として示そうと試みたいのですがどのようにして
u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0でs-2位の零点を持つが非正則と分かるのでしょうか?
後, s∈C\setminusZの時,u^{s-1}/(exp(u)-1)がu=0にて非正則である事はこのような証明で宜しいでしょうか?

>> lim_{u→0} u・u^{s-1}/(exp(u) - 1)はu・u^{s-1}/(exp(u) - 1)が
>> 一位の極を持つ時にしか利用できませんでしたね。
>> すると他にどのような方法で留数を求めれるのでしょうか?
> ローラン級数展開を求める. -2 次以下の負ベキの項が分かるなら
> それを引き去ったものに u を掛けて極限を取る.

有難うございます。参考になります。取り敢えず
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__02.jpg
でいいのですね。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__09.jpg
> u^{s-1}/(\exp(u) - 1) の u = 0 での留数は,
> s = 1 の時 1 ですが, s が 1 より大きい整数の時は 0 です.
> s が 0 以下の整数の時は,
> u/(\exp(u) - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
> でしたから, s = 1 - n  (n は自然数) とすれば,
> 留数は B_n/n! になります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_968__00.pdf
とお蔭様で上手くいきました。美しいです。

>> と行けましたが[Prop205.287]はどのようにして示せばいいのでしょうか?
> 間違っているものは示せません.

それではi∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(εexp(iθ))-1) dθの値は何になるのでしょうか?

>> え゛っ!? するとs∈C\setminusZの場合には
>> どっどのようにして示せばいいのでしょうか?
> 3 項の和になることについては, 何も変えるところはありませんよ.
> Re(s) > 1 では, その値が他の表示を持つことも,

Re(s)>1の時には-∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx+i∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(exp(iθ))-1)dθ+exp(2πis)∫_ε^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx 

は(exp(2πis)-1)∫_0^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)duと表示されるのですね。

> s が整数であってもなくても同じです.
> s が整数なら, その値を計算することが出来るというだけです.

その計算は∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)du=(exp(2πis)-1)Γ(s)ζ(s)を用いてでしょうか?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2993__02.jpg
となったのですがこの先どうすればいいのでしょうか?