ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__02.jpg
>> ででも宜しいでしょうか?
> |x^{s-1}/(\exp(x)-1)| > (1/2)x^{Re(s)-2}  (x \in (0, 1))
> であることの証明は, 過不足があるようですが, まあ良いでしょう.
> \int_0^1 x^{Re(s)-2} dx が Re(s) \leq 1 で発散することの
> 証明のうち, Re(s) = 1 の部分は駄目です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__03.jpg
でいいのですね。

>> すっすいません。Lebesgue 可積分でないと余り役に立たない
>> というのはどういう意味なのでしょうか?
>>> Riemann 広義積分として条件収束するかどうかなど
>>> 考える意味はありません
> ということです.

そうなのですか。

>> 申し訳ありません。ちょっと大幅混乱しております。
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__00.pdf
>> ではどうしていけないのでしょうか?
> (v) の主張が, x^{s-1}/(\exp(x)-1) は Re(s) \leq 1 のとき,
> [0, 1] 上 Lebesgue 可積分でない, であれば, それで良いのです.
> Riemann 広義積分は絶対収束しない, でも良い.

そうしますと∫_0^1 |x^{s-1}/(\exp(x)-1)|dx (但し,Re(s)≦1)は発散すると分かりましたが
∫_0^1 x^{s-1}/(\exp(x)-1)dx (但し,Re(s)≦1)だと発散・収束の判定は不可能なのでしょうか?

更に(vi)の∫_0^∞ x^{s-1}/(\exp(x)-1)dx (但し,Re(s)≦1)の証明は,
(v)の∫_0^1 x^{s-1}/(\exp(x)-1)dx (但し,Re(s)≦1)の発散性を使って証明しようとしていたのですが
∫_0^1 x^{s-1}/(\exp(x)-1)dx (但し,Re(s)≦1)の収束・発散が判定不能な場合,
(vi)の∫_0^∞ x^{s-1}/(\exp(x)-1)dx (但し,Re(s)≦1)の収束・発散はどのように結論付けられますでしょうか?

> しかし, Lebesgue 可積分でなくても, Riemann 広義積分が条件収束
> することは有り得ることですので, "\not\in \mathbf{C}" などと
> いう曖昧な表現に対する証明としては不十分でしょう.

∫_a^b |f(s,x)|dxが発散だが,∫_a^b f(s,x)dxは収束という場合は
夫々∫_a^b |f(s,x)|dx \not \in C、∫_a^b f(s,x)dx∈C
と書けばいいだけの事ではないのでしょうか?

> まあ, 積分が収束するということの表現として, "\in \mathbf{C}"
> と書いたり, 積分が収束しないということの表現として,
> "\not\in \mathbf{C}" などと書くのは止めた方が良いでしょう.

ふーむそうですか。。。
"\in \mathbf{C}"や"\not\in \mathbf{C}"の使用する上での決定的な欠陥となるような例を挙げて戴けましたら幸いなのですが。

"<∞"だと(何となく)"振動"の意味も含んでそうなので,ハッキシと"∈C"として収束を表しているつもりでした。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__42.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_292__43.jpg
>> でいいのですね。
> "monotone convergence" ですか. まあ良いでしょう.

monotone convergence theoremとは普通言ったりしないのでしょうか?

>>> ちょっと見ただけでも,
>>> [Prop192.100032] の (i) の s が自然数のときの u^s の u = 0 での
>>> 正則性の証明の一行目の最後が u^{s-1} の u = 0 での微係数の存在を
>>> 主張している式になっているといった類の誤りやら,
>> えっ? u^sがu=0で微分係数の存在がu^sのu=0での正則性の証明には
>> ならないのでしょうか?
> それはなりませんが,

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1235__03.jpg
でしたね。

でも[Prop192.100032]では導関数がu=0で連続なのでu^sはu=0にて正則と言っていいのですよね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__01.jpg
でところで上から4行目の(lim_{u→0}u)^0=1はどうして言えるのでしょうか?

> そのことではなくて,
> u^s であるべきところが u^{s-1} になっているという指摘です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__01.jpg
の下から6行目の右端の箇所でしたね。d/du u^sと訂正致しました。

>> ならどうやってu=0での正則性の証明をすればいいのでしょうか?
> u = 0 で正則であるためには, u = 0 で微分可能だけでは不十分.
> u = 0 のある近傍の各点で微分可能でなければなりません.
> u = 0 でも u \neq 0 でも, s が自然数であるとき,
> u^s は「明らかに」微分可能ですが,
> 証明を与える以上, そのことにも触れておく必要があります.
> ということで,
>>> もっと重大な問題
>>> としては, u = 0 での正則性が u = 0 での微分可能性を示せば証明された
>>> と勘違いしていることとかが発見できましたが,
>>> 一々調べませんし, 注意しません.
> と述べました.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__01.jpg
という具合に導関数のu=0の連続性を言えばいいのですよね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__00.jpg
>> と訂正致しました。これなら如何でしょうか?
> s が自然数であるとき, u \neq 0 で u^s が微分可能であるとは
> どういうことか, 分かっていらっしゃらないことが分かって,
> びっくりしました.
> s が自然数であるとき, u^s が複素数平面全体で正則であることを
> 示せもしないというのは, 重症です.

これは大変失礼いたしました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__01.jpg
ででも不味いでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__05.jpg
>> でいいのですね。
> (ii) の証明では, u^{s-1}/(\exp(u)-1) = (u/(\exp(u)-1)) u^{s-2}
> という変形をしないと, 何も意味のある結論は出ませんよ.
> s が 1 以下の整数であるとき, u = 0 は u^{s-1}/(\exp(u)-1) の
> 2-s 位の極になります.
> 「高々 1-s 位の極」というのは大間違いです.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_102285__01.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1083__00.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__06.jpg
でいいのですね。

> (iii) で u = 0 での値を考えるのも無意味です.

そうでした。この証明は題意の趣旨に反した議論になってしまってました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__07.jpg
で(iii)は如何でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2915__04.jpg
>> でいいのですよね。
> はい.

有難うございます。

>> えっ?  誠に申し訳ありませんが仰ってる内容が把握できません。
>> 題意は「s∈C,ε∈(0,2π)の時,∫_C
>> u^{s-1}/(exp(u)-1)du=-∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)du
>> +i∫_0^{2π}(εexp(iθ))^s/(exp(εexp(iθ))-1)dθ
>> +exp(2πis)∫_ε^∞u^{s-1}/(exp(u)-1)du」
>> となっているのですが。
> だから, それは任意の複素数 s で成立しているので,
> "s \in \mathbf{C} \setminus \mathbf{Z}" について
> という話ではありません.

つっつまり,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__01.pdf
の証明はs∈Zの時のみの証明しか記述してなくて,s∈C\setminusZの時の証明は述べていないではないかと仰ってるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__01.pdf
>> という具合にして
>> Lebesgeの単調収束定理を使うべく変形していったのですが
>> 途中で単調性が判断しかねてしまい頓挫してしまいました。
>> 一体,どのようにすべきなのでしょうか?
> これは準備の仕方が悪い.
>  \lim_{h \to 0}
>   (\int_{C_\epsilon}
>     ((u^{s-1+h} - u^{s-1})/h - \log(u) u^{s-1})/(\exp(u) - 1) du)
：
>      = \int_{C_\epsilon}
>          |\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du|
> なので, この最後の積分が |h| が十分小のとき有界であることを
> 示せば良い.

大変有難うございます。結局は
lim_{h→0}\int_{C_\epsilon}
          |\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du|∈C
を示せばいいのですよね。
h→0でせいぜいexp(|h||ln(u)|)→exp0(=1)にしかならないのですが。。
どうすればいいのでしょうか?