ご回答誠に有難うございます。

>> 後, ∫_{C_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)u^{Re(s)-1}/(exp(u)-1) |du|が有界なら 
>> 
>> どうして
>> lim_{h→0}|∫_{C_ε}[(Σ_{n=2}^∞h^{n-2}(ln(u))^n/n!)u^{s-1}]/(exp(u)-1)
>> du|
>> が収束すると分かるのでしょうか?
> 目標を忘れてはいけません.
> lim_{h \to 0}
>  h \times \int_{C_\epsilon} (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} (log(u))^n/n!)
>                               \times u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
>  = 0
> を示すには,
>  \int_{C_\epsilon} (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} (log(u))^n/n!)
>                               \times u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> とか,
>  |\int_{C_\epsilon} (\sum_{n=2}^\infty h^{n-2} (log(u))^n/n!)
>                               \times u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du|
> が (h \to 0 で) 収束することを示す必要はない.
> # Lebesgue の定理を用いれば示せますが.
> 有界であることさえ言えば良い.
> # この形での証明だと Lebesgue の定理を知らない人にも説明できる
> # わけです.

成るほど。概要が漸く掴めました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__02.pdf
と訂正致しましたが証明の初行で
d/ds ∫_{C_ε}u^{s-1}/(exp(u)-1)du=∫_{C_ε}∂/∂s u^{s-1}/(exp(u)-1)du
となるのかどうして分かりません。どうしてなのでしょうか?
あと,末行から5行目にてc,M∈R^+としてどのようなものが採れるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__04.jpg
>> と訂正致しました。
> 真ん中の所で,
>  lim_{c \to +0} \int_c^1 x^{Re(s)-1}/(\exp(x) - 1) dx >
>  (1/2) \lim_{c \to +0} \int_c^1 x^{Re(s)-2}/(\exp(x) - 1) dx
> が成立する理由は, \lim_{x \to +0} 1/(\exp(x) - 1) = +\infty
> であるからではなく, x/(\exp(x) - 1) > 1/2 (0 < x \leq 1)
> であるからです.

仰る通りですね。「…[8.7]」の直下で「(∵exp(x)-1<2x on (0,1))」という風に断っております。
見難くて大変失礼いたしました。

>> (vi)については
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__06.jpg
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__07.jpg
>> という具合に(i)と(v)から示せたのですがこれででも大丈夫でしょうか?
> 何度も言いますように,
>  \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x)-1) dx \notin \mathbf{C}  (Re(s) \leq 1)
> という式の意味は曖昧です. それが Re(s) \leq 1 のとき,
> x^{s-1}/(\exp(x)-1) は (0, +\infty) 上 Lebesgue 可積分でない,
> とか, Riemann 広義積分が絶対収束しない, とかの意味であるなら,

さようでございます。「\not \in C」は
∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx=∞ か ∫_0^∞|x^{s-1}/(exp(x)-1)}dxはLebesgue積分不確定
という意味です。

> (i) と (v) から自明であるのは当然ですが, それなら (v) の
> 書き方も違っている筈でしょう. Re(s) \leq 1 のとき,
> Riemann 広義積分 \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は
> 条件収束することもない, というつもりであるなら,
> (i) と (v) からは出て来ません. (v) の代わりに Re(s) \leq 1 のとき,
> Riemann 広義積分 \int_0^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は発散する,
> ということを示しておく必要があります.

なるほど納得です。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__01.pdf
にて,(v) ∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx はRe(s)≦1で発散を示しているのですが
|∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx |としても何も出てきそうもなさそうだし,
一体どのようにして証明すればいいのでしょうか?

>>> 言葉の定義の問題として, 一点で微分可能であるだけでは
>>> その点で正則とは言いません.
>> そうでしたね。開近傍の任意の点で微分可能でなければならないのでしたね。
> と確認しておいたのにもかかわらず,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100032__02.jpg
>> でいいのですね。
> の (i) で, u = 0 での微分可能性のみを示して,
> u = 0 で正則であることの証明としているのは,
> 全く理解が出来ていないということですね.

これは大変失礼いたしました
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10005__01.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1027__01.jpg
で宜しいかと思います。

> (ii) も間違っていますし, (iii) はなくもがなです.

えっそんなバカな。。(ii),(iii)は問題無いと思うのですが一体!?

>>> s = 1 のとき, u^s = u の微分は何だと思っているのですか.
>> u≠0の時は1で、u=0の時は0だと思いますが。。
> ほう, 多項式の一番の基本の単項式を微分すると不連続であると.

これも失礼致しました。
u^1の微分は1でした。

>> Σ_{n=0}^∞B_n0^n/n!はいいが,0/(exp0-1)という表記は駄目なのですね。
> ベキ級数などの場合の z^n の n = 0, z = 0 の場合は特別です.

ベキ級数では0^0:=1と定義してあるのですよね。

>> z/(exp(z)-1)はz=0で正則なのでz=0で連続,
> z/(\exp(z) - 1) で z = 0 まで正則に延長した関数を
> 表すことにするのは許容範囲ですが,

了解です。

>> 故にlim_{z→0}z/(exp(lim_{z→0}z)-1)=lim_{z→0}z/(exp(z)-1)と迄は書いてもいいが
> 右辺は良いが, 左辺は駄目です.

左辺で既に許容範囲外ですか。

>> 0/(exp0-1)は0/0と見て取れるからNGなのでしょうか?
> そうです.

了解です。

>> z/(exp(z)-1)|_{z=0}=1ならOKでしょうか?
> 許容範囲です.

これはOKで
lim_{z→0}z/(exp(lim_{z→0}z)-1)はどうして許容範囲外なのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29__01.pdf
>> を再度見てましたがsを場合わけしている箇所は見当たりませんでした。
>> なのでこれでいいのですよね?
> その結果を用いて貴方が述べていたことが変だったのです.

あっ漸く仰ってる意味がわかりました。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_29__05.jpg
にて場合分けしておりましたね。確かに。

>>> 違いますよ. 何か正数 c, M があって, |h| < c なら
>>> \int_{C_\epsilon}
>>>   |\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du| \leq M
>>> となることを言えば十分です.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/Prop205.2925__02.pdf
> 最初の [Prop192.10007] が駄目です.
> (iii) は一般には成立しません.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__01.jpg
では如何でしょうか?

> (i) も, A が有限閉区間であれば良いですが, 一般には成立しません.
> ちゃんと, 微積分学の教科書を参照して下さい.

了解です。

>> となりましたが下から6行目のc,Mとして何が採れますでしょうか?
> それ以前の問題です. ところで以前の投稿でその扱い方を
> 示した記事は読み直されましたか.

121007212833.M0126540@ras2.kit.ac.jp
の
「これは準備の仕方が悪い.
\lim_{h \to 0}
：
|\log(u)|^2 \exp(|h||\log(u)|) u^{Re(s)-1}/(\exp(u) - 1) |du|
なので, この最後の積分が |h| が十分小のとき有界であることを
示せば良い.」
の箇所でしょうか?

>> 後,「ε∈(0,2π)」という条件は使わなかったのですが
>> εは任意の正の実数ででもいいのでしょうか?
> 積分路 C_\epsilon の中に, u^{s-1}/(\exp(u)-1) の u = 0 以外の
> 特異点が含まれてしまうと, \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du
> の値が変わってしまいます. \epsilon は (2 \pi より小さいような)
> 十分小さな正の実数であれば何でも良い, としている所以です.

了解です。