ご回答誠に有難うございます。

>> 取りあえず手直ししてみたのですが
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__05.pdf
>> ではいかがでしょうか?
> [Prop205.29243] の「証明」には誤りが多数あります.
> 実数の区間上の複素数値関数の積分を考えているところに
> 線積分を持ち出すのがそもそも間違っています.
> u > 0 で \log u < u ですが, |\log u| < u ではありません.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29243__01.jpg
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29243__02.jpg
にて∫_ε^1|ln(u)|^2|u^h u^{s-1}/(exp(u)-1)||du|は何で抑えれるのでしょうか?

> これと同じ間違いが [Prop205.29245] の証明にもあります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_29245__00.jpg
とすればいいのですね。然し,Prop205.29243の証明を終わらせる必要がありますね。

> 最後の括弧くくりのなかの議論は意味不明です.

これは
∫_ε^∞(ln(u))^2u^{h+s-1}/(exp(u)-1)duが∞か積分不確定ならば
∫_ε^∞|(ln(u))^2u^{h+s-1}/(exp(u)-1)|du=+∞と自動的になってしまうので,
∫_ε^∞(ln(u))^2u^{h+s-1}/(exp(u)-1)duは収束しか有り得ない.
という主張でございます。

> 本当に [Prop199.99465] は証明できていますか.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdf
と訂正してみました。

> [Prop205.2925] の証明で, \gamma_\epsilon 上での
> 線積分を評価して M という h によらない定数で
> C_\epsilon 上での積分を評価するところも不十分です.

(ln(u))^2の箇所を何故かln(u^2)としてしまってましたね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__06.pdf
と訂正致しました。これで如何でしょうか?

>>> 無限大であると言っても, 複素数平面を１点コンパクト化した
>>> リーマン面としての球面の無限大に値を取っているという話では
>>> ありません.
>> つまり,C内の∫_1^∞ dx/xは拡張された複素平面ではなく,
> \int_1^\infty dx/x は \bar{\mathbf{C}} での話ではないだろう,
> と言っています.

∫_1^∞ dx/xはC内での積分(つまり,複素線積分)の場合とR内でのただの積分と見た場合とでは意味が全く異なってしまうという事なのですね?

∫_1^∞ dx/x in Rならこの無限大には符号をキチンと付けるべきで
∫_1^+∞ dx/x
 =lim_{c→+∞}lim_{max{|t_i-t_{i-1}|;1=t_0<t_1<…<t_n=c}→0}Σ_{k=1,ζ_i∈(t_{k-1},t_k)}^n(1/ζ_k)(t_k-t_{k-1}) (∵実積分の定義)=lim_{c→+∞}(ln|c|-ln1)=lim_{c→+∞}ln|c|=+∞一方,∫_1^∞ dx/x in Cなら∫_1^∞ dx/x=lim_{c→∞}∫_1^c dx/x=lim_{c→∞}lim_{max{|t_i-t_{i-1}|;1=t_0<t_1<…<t_n=c}→0}Σ_{k=1,ζ_i∈(t_{k-1},t_k)}^n (1/ζ_k)(t_k-t_{k-1}) (∵複素線積分の定義)=lim_{c→∞}(ln|c|-ln1)=lim_{c→∞}ln|c|=∞(∵Cでの無限大の定義)で+∞≠∞となりました。つまり,実数での無限大と複素数での無限大は異なるのですね。更に複素数での積分には振動という状況があるのか検証してみますと,∫_0^∞ sin(x)dx in Rは明きからに振動ですね。それに対して∫_0^∞ sin(x)dx in Cでは∫_0^{π/2} sin(x)dx=[-cos(x)]_0^{π/2}=-1,∫_0^π sin(x)dx=[-cos(x)]_0^π=0,∫_0^{3π/2} sin(x)dx=[-cos(x)]_0^{3π/2}=-1,：となり振動しますね。故に,複素数での積分では複素数値,∞,振動のいずれかの結論がありうるのですね。でも,Prop199.99465での(vi)http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.jpgにて,∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx (where Re(s)≦1)はは∫_1^∞ dx/xの件とは異なり,s∈Cと仮定されているので明らかに複素数での積分と分かる。その際, ∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx=lim_{c→∞}∫_1^c x^{s-1}/(exp(x)-1)dx=lim_{c→∞}lim_{max{|t_i-t_{i-1}|;1=t_0<t_1<…<t_n=c}→0}Σ_{k=1,ζ_i∈(t_{k-1},t_k)}^n (ζ_k)^{s-1}/(exp(ζ_k)-1)(t_k-t_{k-1}) (∵複素線積分の定義)となりここから先の結論としては,∞となる,複素数値を持つ(つまり,収束する),振動するのいずれかになるのですね。>>>>>\int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x)-1) dx \notin \mathbf{C}  (Re(s) \leq 1)>>>>>という式の意味は曖昧です. それが Re(s) \leq 1 のとき,>>>>>x^{s-1}/(\exp(x)-1) は (0, +\infty) 上 Lebesgue 可積分でない,>>>>>とか, Riemann 広義積分が絶対収束しない, とかの意味であるなら,(v)の"∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dx \notin C"の解釈の仕方としては∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dx  in Cの場合,∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dx=∞と解釈でき(被積分関数が正値関数なので振動は有り得ない),∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dx  in Rの場合,既に"\notin C"なのだから,"\notin R"ででも無く,∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dx=∞と解釈でき(被積分関数が正値関数なので振動は有り得ない),つまり,(v)は発散すると言う意味になる。然し,もし∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dx \notin C を(級数に倣って)∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dxは絶対積分しない(つまり,絶対積分は発散する)の意味だと約束すると,>>>>> (i) と (v) から自明であるのは当然ですが,これは(i)と(v)より∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dxは∞か振動かのどちらかと言え,どちらの場合でも|∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx|=∞となりますから∞=|∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dx|≦∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)||dx|=∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dxで∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dx=∞と言えますね。>>>>> それなら (v) の書き方も違っている筈でしょう.えっ!?どうしてでしょうか?∫_0^1|x^{s-1}/(exp(x)-1)|dxはRe(s)≦1と但し書きを付けてますので複素数での積分である事は明きからですよね。>>>>> Re(s) \leq 1 のとき,>>>>> Riemann 広義積分 \int_0^\infty x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は∫_0^∞ x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dxは複素数での積分であることは明らかですからRiemann積分とは呼べないのではないでしょうか?  複素広義積分と呼ぶべきだと思いますが。>>>>>条件収束することもない, というつもりであるなら,左様です。複素広義積分∫_0^∞ x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dxは発散すると言う意味のつもりです。>>>>> (i) と (v) からは出て来ません. (v) の代わりに Re(s) \leq 1 のとき,>>>>> Riemann 広義積分 \int_0^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx は発散する,>>>>> ということを示しておく必要があります.これは仰る通りですね。>> 有限複素平面で考えているのですね。> 「有限複素平面」というのは聞いたことがありません. 拡張された複素平面C∪{∞}に対して,未拡張の複素平面Cを有限複素平面と呼ぶのだそうです。>> なるほど。∞はCに付加されてないので無限大とも言えず>> その代わり"値なし"と言うのですね。> 何か勘違いがあるようですが,> 「 \int_1^\infty dx/x は無限大である」というときの「無限大」と> 「複素数平面に無限大を付け加えたリーマン球を考える」というときの> 「無限大」とは違うものだから, 混同するな, と言っています.えっ!!?? C∪{∞}とlim_{s→0}1/s=∞との∞は異なるものなのですかっ!?厳密に区別したい場合はどうするのでしょうか?　どちらかの∞を∞'とか全く別の記号を用いるのでしょうか?それと呼び方は前者はリーマン球(または拡大複素平面)の無限大で後者は複素数での無限大とか呼び分けたりするのでしょうか?でもhttp://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_point_at_infinity__00.jpgを見る限りはC∪{∞}とlim_{s→0}1/s=∞との∞は同じもののように説明される気がするのですが。>> "∫_A f(z)dz \not \in C"は"∫_A f(z)dz has no value"と表現するのですね。> 少しはましですが, 普通 f(z) is not integrable on A でしょう.積分不確定ではなく積分不可能というのですね。>> x=0ではこの積分は定義されませんが,x=1では定義されてるから,> そう, x = 0 では広義積分で考えなければなりません.幸い被積分関数がlim_{c→0}x^{s-1}/(exp(x)-1)=1なのでx^{s-1}/(exp(x)-1)を[0,1]で連続関数と扱えれて,然も∫_{[0,1],0→1}x^{s-1}/(exp(x)-1)=∫_{(0,1],0→1}x^{s-1}/(exp(x)-1)だから手頃な∫_{[0,1],0→1}x^{s-1}/(exp(x)-1)にて(Re(s)≦1の時)収束しない事を示せばいいのですね。>> 複素線積分と広義線分の定義より,∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dxは>> ∫_{(0,1],0→1}x^{s-1}/(exp(x)-1)dxの意味だと思うのですが。> そういう書き方はしません.それはそうですね。∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dxは,{x^{s-1}/(exp(x)-1)∈R;x∈(0,1]}の面積を意味すると言いたかったのでした。>  \int_0^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx>  = \lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx> が定義です.仰る通りでございます。>>> 閉区間 [0, 1] 上での C^\infty 関数となるからです.>> え!?少なくとも[0,1]の両端では微分不可能になるのではないでしょうか?>> f(x)は[0,1]で連続で(0,1)で微分可能なら納得できますが。> 複素関数として考えても z/(\exp(z) - 1) は z = 0 にまで> 正則関数として拡張できたのですよ.え? z/(exp(z) - 1)はz=0では非正則ではないのですか?何故ならばz=0の近傍,特にz=0の左側にはf(z)は存在しないので幾ら小さなz=0の開近傍を採ってもその近傍内の全ての点では微分可能とは言えませんよね?> 実軸上に制限すればここでは[0,1]の事ですよね。> C^\infty 級であるのは当然です.> 閉区間で C^\infty であることの定義は色々な version が> ありますが, ここでは閉区間を含むある開区間上で C^\infty> になっていますので,えっ?  fは[0,1]の外ではどのように定義されてるのですか?(1,∞)ではf(x):=x/(exp(x)-1)と定義すればいいことは容易に想像付きますが,(-∞,0)ではf(x):=-x/2+1と定義すればいいのでしょうか?> 一番厳しい定義でも C^\infty です.一番厳しい定義とはどのようなものでしょうか?>> どうして(0,1]でのC^∞級関数では不十分なのでしょうか?>>> 区間の端での値の極限として使われますよ.>>> f(0) だけでなく, f'(0) や f''(0) etc. も使われます.> が答えです.えっえー?http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdfでは(0,1]ででしか議論がないのですが>> 取りあえず>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__04.pdf>> という具合になりました。>> あと,2ページ目の下から6行目にてC^ω級である事を言わねば成らない理由は>> 何なのでしょうか?> 私は一度も C^\omega でないといけないとは言っていませんが.そうでしたね。失礼致しました。C^∞でさえあればいいのですね。しかし,1ページの末行からは∫_0^1x^{s-1}/(exp(x)-1)dxとなって複素線積分の話になるので予め(気分がでるように)C^ωにしておきました。> 尤も, 上で述べたように, 実軸上では正則な関数 f(z) = z/(\exp(z) - 1)> (z \neq 0), f(0) = 1, の実軸への制限ですから, f(x) は> 確かに C^\omega です.> しかし, f(x) が C^\omega であることは上のようにしてしか> 示せませんよ. 貴方の書いている理由では駄目です.http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdfでならいいのですよね?>> そして,2ページ目の下から7行目>> 相変わらずf(x)の定義にてf(0):=1の必要性が分からないのですが。>> これ以降の証明中で[0,1]の箇所を(0,1]に書き換えても>> 特に困る箇所が無いようなのですが>> [0,1]にせねばならないと困ってくる箇所は何処になるのでしょうか?> \lim_{a \to +0} (1/(-s+1)) a^s f(a) であるとか,これはa=0ではないのでf(a)は普通に定義されてると思いますが> \lim_{a \to +0} (1/((-s+1)(-s))) a^{s-1} f'(a) であるとかがこれも同様に普通に定義されてる思います。> 0 であるとして良いのは, \lim_{a \to +0} f(a) = f(0) とか> \lim_{a \to +0} f'(a) = f'(0) とかが有限確定であるから> なのですが, そういうことを使わずにどうして> \lim_{a \to +0} (1/(-s+1)) a^s f(a) = 0,> \lim_{a \to +0} (1/((-s+1)(-s))) a^{s-1} f'(a) = 0> を示したというのですか.はぁhttp://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdfとしたのですが何処からNGとなりましょうか?>>> s が実数の時には,>>>  \int_0^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx>>>   = \int_0^1 x^{s-2} (x/(\exp(x) - 1)) dx>>>> \int_0^1 x^{s-2} dx>>> を使うことになります.>>> # f(x) は x について単調減少です.>> これについては>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__04.pdf>> の下から2行目から始まりますが,5ページ目の12行目にて>> ∫_a^1x^{s-2}x/(exp(x)-1)dx>∫_a^1x^{s-2}・1dxを言わねばなりませんよね。>> 然し,5ページ11行目でx/(exp(x)-1)>1が(a,1]で言えなくなってしまい,>> 頓挫しております。>> ここは何処を間違っているのでしょうか?> おっと失礼.>  \int_0^1 x^{s-1}/(\exp(x) - 1) dx > (1/(e-1)) \int_0^1 x^{s-2} dx> です. 正の定数が付いても発散については同じことです.http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__10.jpgとなりましたがs=1の時はどうすれば+∞が導けますでしょうか?>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1027__03.jpg>> と書くべきだったでしょうか?> u^s は u = 0 の近傍から u = 0 を除いたところでは一価にはならない> ということを書きたいということは分からないではないです.そうですか。>>> 駄目です. 偏微分が連続というだけでは, A を任意としては>>> 成立しません.>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__08.jpg>> とすれば良かったのですね。> s \in B を一つ fix しての議論であれば, それで良いでしょう.どうも有難うございます。