ご回答誠に有難うございます。

>>> そこで述べられている f(x) は定義も性質も性質の証明も出鱈目です.
>> この定義でf(x)は[0,1]は連続&微分可能になっているではありませんか。
>> 証明は何処から完全にNGでしょうか?
> f(x) = x/(\exp(x) - 1)  (x \neq 0), f(0) = 1, とすれば,
> 問題なく R 上の C^\infty 関数であったのに,
> f(x) = x/(\exp(x) - 1)  (x > 0), f(0) = 1, f(x) = 1 - x/2  (x < 0)
> とした為に, R 上の C^1 関数でしかありません.

2階微分するとx<0の範囲ではf''(x)=0となってしまい,x=0で不連続になってしますので,
確かにR上C^∞級ではなくなりますね。

> C^\infty でなければ駄目です.

すいません。これは仰る通りでした。
その後,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1083__01.jpg
からf(0):=1という定義は(不要かと思い)省きました。

> しかも, その f(x) が "holomorphic" であるというウソを,
> \lim_{x \to 0} f'(x) が存在するということだけを証明して
> 述べています. この極限の存在証明だけでは f'(0) の存在すら
> 証明できていません.
> ということで出鱈目です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__14.jpg
の箇所についてですね。
x=0の近傍をUを幾ら小さく採ってもU∩{x∈C;Re(x)<0}\setminus f(R)
の範囲ではfは定義されてませんからfはx=0にて非正則でした。

>> うーん,でも
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__05.jpg
>> の箇所はどうすれば突破できるのでしょうか?
> そのような不等式は必要ありません. 複素線積分が有界の値を取る
> ことさえ言えれば良いので,
>  |\int_{C_\epsilon} (\sum_{n=0}^\infty h^n (\log u)^{n+2}/(n+2)!) \times
>                     u^{s-1}/(\exp(u) - 1) du|
>  \leq \int_{C_\epsilon} |\sum_{n=0}^\infty h^n (\log u)^{n+2}/(n+2)!)|
> \times
>                     |u^{s-1}/(\exp(u) - 1)| |du|
>  \leq \int_{C_\epsilon} (\sum_{n=0}^\infty |h|^n |\log u|^{n+2}/(n+2)!)
> \times
>                     |u^{s-1}/(\exp(u) - 1)| |du|
>  \leq \int_{C_\epsilon} (\sum_{n=0}^\infty |h|^n |\log u|^{n+2}/n! \times
>                     |u^{s-1}/(\exp(u) - 1)| |du|
>     = \int_{C_\epsilon} |\log u|^2 \exp(|h||\log u|) \times
>                     |u^{s-1}/(\exp(u) - 1)| |du|
> と変形すれば十分です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__08.pdf
とお陰様で漸く解決できました。

>> 『|h| が有界であれば一様に有界な連続関数の有限区間での積分に帰着するので,
>> 有界であり, 』
>> という事を使うのでしょうか?
> C_\epsilon の円弧の部分はそうです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__08.pdf
での[1.18]では|h|≦cの時(hが[-c,c]を走る時),有界閉曲線γ_εでの
被積分関数(ln(u))^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/(exp(u)-1)
は単に(ln(u))^2exp(|0||ln(u)|)|u^{s-1}|/(exp(u)-1)から
(ln(u))^2exp(c|ln(u)|)|u^{s-1}|/(exp(u)-1)の間を動く丈で
特に無限大にならないので
∫_{γ_ε}(ln(u))^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/(exp(u)-1)|du|は|h|<cにて有界と言っていいのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__07.pdf
>> とかしてみたりもしたのですが
>> -1/h^2+ln(u)/h+u^h/h^2というhが分母の項が出てきてしまうので
>> |h|<cでhが0に近づくれば
>> ∫_ε^∞|[(-1/h^2-ln(u)/h+u^h/h^2)u^{s-1}/(exp(u)-1)]|duが有界に
>> ならなくなってしまうのですがどうすればいいのでしょうか?
> \sum_{n=2}^\infty が何時の間にか \sum_{n=-2}^\infty になって
> しまったようですね.

これはそうでした。失礼致しました。

>>> 無限路での複素線積分が収束しないということを
>>> 「無限大」を用いて表現することはありません.
>>> ただ, それは「収束しない」と述べるだけのことです.
>> "\not \in C"と表現する事もないのですね。
> ありません.

有難うございます。了解いたしました。

>>> 実数の無限区間上の正値関数の積分であれば,
>>> それが収束しないということを「無限大」になると表現できます.

積分値が限りなく大きくなっていくから「無限大」と表現できるのですね。

> この場合との違いを良くお考え下さい.

複素数の世界では,"大きくなる"という概念が無いので,複素線積分にて
∫_A f(z)dz=+∞という表記は成立せず,
ましてや複素線積分が無限遠点になるケースも無いのですね。

と思いきや,
複素関数要論(青木利夫著)のp97の下から6行目
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_diverges_to_infty_in_complex__00.jpg
では複素関数極限でも∞と表記したりする事が述べられており,
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
では複素数列にも振動するケースがある事が述べられてるので
複素関数の発散に於いても実関数の発散の時と同様に
無限遠点の発散(例:lim_{z→0}1/z),
振動する(例:lim_{n→∞}(cos(πn/6)+isin(πn/6))),
カオスに発散する(例:漸化式z_{n+1}=(z_n)^2+(-0.47+0.54i)且つz_0:=-0.47+0.54iで定まる数列),
上記3つ以外の発散(例:f(z)=z~(但し,z~はzの共役複素数)の導関数),
の4種類に分類できるのだと思いますが,やはり勘違いしてますでしょうか?

>> つまり, 実積分の場合は実数値,±∞,振動の3通りのケースがあり,
> 単に広義積分などを考えるなら, 収束するかしないかのどちらかです.
> 非負値関数の広義積分を考えるときは収束するか無限大に発散するかの
> どちらかであるとも言えます. 非負値関数の場合が特別なのです.
> だから, 一般に広義積分でも絶対収束, 条件収束の区別が出て来る
> わけですが, それはまた別のお話.

そうですか。

>> 例えば,∫_-1^1dx/x^2は実積分として考えると,∫_-1^1dx/x^2=+∞ですが,
>> 複素線積分として考えると,"∫_-1^1dx/x^2=∞"という表記は存在せず,
>> 単に,複素線積分不能である,もしくは複素数値は存在しない,もしくは発散する
>> と呼ぶのですね。
> x = 0 で連続でないような関数の複素線積分を考えることは
> ないでしょう. つまらない例を持ち出さないことです.

そうでしたか。失礼致しました。

>> ∫_0^1(sin(1/x))/x dxについても実積分では振動ですが
> x = 1/t と変数変換すれば, dx = - dt/t^2 であり,
> \int_0^1 \sin(1/x)/x dx = \int_1^\infty (\sin t)/t dt
> となりますから, この積分は条件収束します.

そうでしたね。近似値を持つのですね。

>> 複素線積分として見た場合は振動とは言わず,
>> "複素線積分不能である"と言うのですね。
> このような実関数の積分を複素線積分と考えるような
> 無駄なことをする人はいません.

これもそうでしたか。

>> つまり,複素線積分では"無限大に発散"と"振動"の区別は存在せず,
>> ただ単に"発散する"としか表現しないという事なのですね。
> 「発散する」とひとくくりにするのが普通です.
> 他の区別を持ちこんでも役に立ちません.

有難うございます。これは参考になります。

>>> 実数の区間上の複素数値関数に対しても Riemann 積分,
>>> Riemann 広義積分は考えられます.
>> そうだったのですか。とても参考になります。そうしますと
>> 『f:A→C (但し,a,b∈A⊂R)とする時,
>> ∫_a^b f(x)dx :=　　
>> sup{Σ_{i=1}^n min {|z|;z∈f([x{i-1},x_i])}∈R;　
>> x_0:=a,x_n:=b,x_j∈(x_{j-1,x_n) (但し,j=1,2,…,n-1),n∈N}:=S
>>  (a<bの時),
>> 0 (a=bの時),
>> -S (a>bの時
>> と定義して∫_a^b f(x)dxをf(x)のaからbまでの定積分という』
>> が値域が複素数の関数fのRiemann定積分の定義となると思いますが
>> これで大丈夫でしょうか?
> Riemann 和も作らずに Riemann 積分が定義出来る筈がないでしょう.

『f:A→C (但し,a,b∈A⊂R)とする時,
∫_a^b f(x)dx :=　　
sup{Σ_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})min {|z|;z∈f([x{i-1},x_i])}∈R;　
x_0:=a,x_n:=b,x_j∈(x_{j-1,x_n) (但し,j=1,2,…,n-1),n∈N}:=S
(a<bの時),
0 (a=bの時),
-S (a>bの時
と定義して∫_a^b f(x)dxをf(x)のaからbまでの定積分という』
と書きたかったのです。これなら大丈夫でしょうか。

> 区間 [a, b]  (a < b) 上の複素数値関数 f に対して,
> 区間 [a, b] の分割 \Delta = { a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b }
> と [x_{i-1}, x_i] 内の点 \xi_i (1 \leq i \leq N) に関する
> Riemann 和 R(f, \Delta, { \xi_i }) を
>  R(f, \Delta, { \xi_i })
>   = \sum_{i=1}^N f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})
> とします. 分割 \Delta の大きさを
>  |\Delta| = \max_{1 \leq i \leq N} (x_i - x_{i-1})
> で定義するとき,
>  \lim_{|Delta| \to 0} R(f, \Delta, { \xi_i })
> が存在すれば, それを Riemann 積分 \int_a^b f(x) dx とします.

ごもっともです。

>> 有限複素平面…複素関数キャンパスゼミ(馬場敬之著)p52より
> 無限に広がる複素数平面に「有限」を冠するのは
> 語感に狂いがあります. 拡大された複素数平面,
> 即ち, リーマン球の方が「有限」です.

なるほど。複素平面全体の面積は無限ですが,リーマン球は4πと有限ですね。

>>> それは良い考えではありませんね. 採用しない方が良い.
>> 実数での無限大には必ず符号があるという箇所が
>> 最も複素数での無限遠点との異なる点ですね。
> 拡大実数直線の話とも違いますがね.

あっ、そうでしたか。

>> 厳密に区別する場合には∫_1^+∞ dx/x =+∞と書くように心がけます。
> そんな区別は無駄です.

これもそうでしたか。

>> そうすると∫_1^∞ dx/x と書いた場合の"∞"は無限大ではなく
>> 無限遠点と意味になってしまうので∫_1^∞ dx/xは意味を成さなくなりますね。
> そんな誤解をする人はいません.

こっこれもそうですか。

>> 勿論,通常は∫_1^∞ dx/xと書けば∫_1^+∞ dx/xを表す事になっているのが
>> 一般的でしょうが。
> 当たり前です.

了解です。

>> 因みに
>> http://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/def_Riemann_sphere__00.jpg
>> に依り
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Riemann_sphere__01.jpg
>> とリーマン球を定義しましたがこの定義で正しいでしょうか?
> ま, お好きなように.

どうも有難うございます。

>>> どこから -x/2 + 1 が出て来たのか, 興味があります.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdf
>> の1ページ目の【8.04】直下で述べてますとおり,
>> f'(x)=1/(exp(x)-1)-xexp(x)/(exp(x)-1)^2で　
>> lim_{x→0+}f'(x)=-1/2でしたので
>> (-∞,0)ではf(x):=-x/2+1と定義すればfは(-∞,∞)にて
>> 連続且つ微分可能かと思ったのでしたが
>> これは完全に計算間違い&勘違いでした(大恥)。
> 貴方には証明できていませんが, 連続かつ微分可能ではあります.

(-∞,0)ではf(x):=-x/2+1と定義すればfは(-∞,∞)にてC^1級ですがC^∞とはならないのですね。

>> f(x)=x/(exp(x)-1)は既に最初から(-∞,∞)にて連続且つ微分可能でしたね。
> その通り.

了解です。

>>> \lim_{a \to +0}
>>>  {(1/(-s+1)) a^{s-1} f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a^s f'(a) +
>>>    \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{s+N} f^{(N+1)}(a)}
：
>  = 1/(-s+1) f(0) \neq 0
> が示せて,
> 初めて, \lim_{a \to +0} |a^{s-1}| = \infty から
>  \lim_{a \to +0}
>   {(1/(-s+1)) a^{s-1} f(a) + (1/((-s+1)(-s))) a^s f'(a) +
>     \cdots + (1/((-s+1)(-s)\cdots(-s-N))) a^{s+N} f^{(N+1)}(a)}
> の発散が示せるのです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__07.pdf
でいいのですね。

>> 今,題意は∫_0^∞x^{s-1}/(exp(x)-1)dx(但し,Re(s)≦1)が発散する事が最終目標なので。
> その証明に f が C^\infty であることが使われることは
> お分かりになりましたか.

はい、お陰さまで分かりました。

>> それで
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__06.pdf
>> での
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__11.jpg
>> という具合にlim_{a→+0}直後の括弧内の第一項は有界で第二項は"→∞"となるので 
>> 
> 貴方の議論では第二項の絶対値が (a \to +0 で) \to \infty となることを
> 証明できていません.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__16.jpg
ではa^{s-1}は原点から離れていって,a^sもそうだとしても
a^sがa^{s-1}と全く逆方向に原点から離れて行く場合は打消しあって
lim_{a→+0}[1/(-s+1)a^{s-1}f(a)+1/((-s+1)(-s)) a^s f'(a)]=∞とならない場合も有り得ますよね。