ご回答誠に有難うございます。

>>> f(x) = x/(\exp(x) - 1)  (x \neq 0), f(0) = 1, とすれば,
>>> 問題なく R 上の C^\infty 関数であったのに,
> 今必要なのは実数上の関数ですから上のように定義しています.

了解です。

>> その後,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1083__01.jpg
>> からf(0):=1という定義は(不要かと思い)省きました。
> 勿論, それが複素数平面上で定義された有理形関数 z/(\exp(z) - 1)
> の実数直線上への制限で, 実数直線上では正則であることを用いるなら
> それでも構わないでしょう.

了解です。

>>> しかも, その f(x) が "holomorphic" であるというウソを,
>>> \lim_{x \to 0} f'(x) が存在するということだけを証明して
>>> 述べています. この極限の存在証明だけでは f'(0) の存在すら
>>> 証明できていません.
>>> ということで出鱈目です.
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__14.jpg
>> の箇所についてですね。
> それの証明について注意しています.

そこの箇所は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__17.jpg
のように訂正致しました。

>> x=0の近傍をUを幾ら小さく採ってもU∩{x∈C;Re(x)<0}\setminus f(R)
>> の範囲ではfは定義されてませんからfはx=0にて非正則でした。
> その理由付けは間違っています.

これは
f(x) = x/(\exp(x) - 1)  (x > 0), f(0) = 1, f(x) = 1 - x/2  (x < 0)
とfを定義した場合に就いてですね。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__05.pdf
ではfの定義域は[0,1]なので0の近傍は存在しませんね。
従って,fはx=0にて非正則なのですね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__08.pdf
>> とお陰様で漸く解決できました。
> 複素線積分と, 線素についての積分との性質の違いが分かっていない
> ようですね. 5 page 辺りで積分の前に負の符号が付いたり,
> 線素についての積分

|du|という測度の積分の事ですね。

> を複素線積分と等式で結んだりするのは,
> 出鱈目にもほどがあります.

誠に申し訳ありません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__06.jpg
の箇所ですね。

では∫_{C_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/|exp(u)-1| |du|
から先は一体どのようにすればいいのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__08.pdf
>> での[1.18]では|h|≦cの時(hが[-c,c]を走る時),

ここはhは複素数なので「hがBall(0,c)を走る時」とせねばなりませんでしたね。

>> 有界閉曲線γ_εでの
>> 被積分関数(ln(u))^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/(exp(u)-1)
>> は単に(ln(u))^2exp(|0||ln(u)|)|u^{s-1}|/(exp(u)-1)から
>> (ln(u))^2exp(c|ln(u)|)|u^{s-1}|/(exp(u)-1)の間を動く丈で
>> 特に無限大にならないので
>> ∫_{γ_ε}(ln(u))^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/(exp(u)-1)|du|は|h|<cにて
>> 有界と言っていいのですね。
> \gamma_\epsilon 上では \log(u) は複素数値です.
> それだけでも何かおかしいと思いませんか.

おっとそうでした。∫_{γ_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/|exp(u)-1| 
|du|の
積分範囲γ_εは複素数値をとるので
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2925__07.jpg
のように∫_{γ_ε}|ln(u)|^2exp(|h||ln(u)|)|u^{s-1}|/|exp(u)-1| |du|
の|ln(u)|^2と|exp(u)-1|の絶対値は取り除いてはいけないのでした。

>> 複素数の世界では,"大きくなる"という概念が無いので,複素線積分にて
>> ∫_A f(z)dz=+∞という表記は成立せず,
>> ましてや複素線積分が無限遠点になるケースも無いのですね。
>> と思いきや,
>> 複素関数要論(青木利夫著)のp97の下から6行目
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_diverges_to_infty_in_complex__00.jpg
>> では複素関数極限でも∞と表記したりする事が述べられており,
> だから, それは複素数値ではなく, リーマン球面に値を取るとする
> 場合の話です.

つまり, 関数fをリーマン面(即ち,拡大された複素平面)で考えた場合の話なのですね。 


複素線積分はリーマン面ではなく複素平面でのみ考察される概念なのですね。

>> http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
>> では複素数列にも振動するケースがある事が述べられてるので
> カオスの話をする場合にはそういう区別が必要なこともあるでしょう.
> 「どういう区別が必要か」は「どういう話をするときか」に
> 依存します.

なるほど, そうでしたか。

>> 複素関数の発散に於いても実関数の発散の時と同様に
>> 無限遠点の発散(例:lim_{z→0}1/z),
>> 振動する(例:lim_{n→∞}(cos(πn/6)+isin(πn/6))),
>> カオスに発散する(例:漸化式z_{n+1}=(z_n)^2+(-0.47+0.54i)
>> 且つz_0:=-0.47+0.54iで定まる数列),
>> 上記3つ以外の発散(例:f(z)=z~(但し,z~はzの共役複素数)の導関数),
>> の4種類に分類できるのだと思いますが,やはり勘違いしてますでしょうか?
> 線積分の収束発散について述べるときに,
> わざわざそんな区別をすることはありません.
> 無駄なことはしないことです.

線積分では4種類に分類する機会など有り得ないのですね。

>>> x = 1/t と変数変換すれば, dx = - dt/t^2 であり,
>>> \int_0^1 \sin(1/x)/x dx = \int_1^\infty (\sin t)/t dt
>>> となりますから, この積分は条件収束します.
>> そうでしたね。近似値を持つのですね。
> 収束すると述べているのに, それに対して「近似値を持つ」と
> 表現する必要はないでしょう.

これもご尤もです。

>> 『f:A→C (但し,a,b∈A⊂R)とする時,
>> ∫_a^b f(x)dx :=　　
>> sup{Σ_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})min {|z|;z∈f([x{i-1},x_i])}∈R;　
>> x_0:=a,x_n:=b,x_j∈(x_{j-1,x_n) (但し,j=1,2,…,n-1),n∈N}:=S
>> (a<bの時),
>> 0 (a=bの時),
>> -S (a>bの時
>> と定義して∫_a^b f(x)dxをf(x)のaからbまでの定積分という』
>> と書きたかったのです。これなら大丈夫でしょうか。
> 全然駄目です. f が実数直線の区間 [a, b] 上の
> 複素数値関数であれば, その Riemann 積分は (存在すれば)
> 複素数値でなければ意味がありません. 貴方の定義では
> 何をも意味しない実数でしかありません.
> \min が使われているのも, 何も分かっていない証拠です.

これも大変失礼いたしました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_line_integral__00.jpg
でいいのでしたね。

>> なるほど。複素平面全体の面積は無限ですが,リーマン球は4πと有限ですね。
> リーマン球は「半径 1 の球面」ではありませんよ.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Riemann_sphere__02.jpg
という風に半径1の球面を定義域とした関数fの像f(R)の事をRiemann球面と呼ぶのでしたね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_99465__07.pdf
>> でいいのですね。
> 良いでしょう.

どうも有難うございます。お蔭様で漸く解決できました。