ご回答誠に有難うございます。

>>> χ(1)=1(∵χの定義),χ(N-1)=χ(-1)=-1(∵題意)は分かりますが
>>> χ({2,3,…,N-2})が1を含まない事はどうすれば分かりますでしょうか?
>> \chi(-1) = -1 であれば十分. その他がどうでも良い.
>> 大体, \chi(1) = 1 ですから, 「\chi(G) は 1 を含まない」
>> ということは起き得ません.
> そうでした。お恥ずかしい。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__22.jpg
にてχの値域がC^×を言わなければならないと思うのですが
χ({1,2,3,…,N-1})が0を含まない事はどうすれば言えますでしょうか?

>> 積分路は
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/integral_pat...
>> となるのですね。
> 向きにも御注意下さい.

この積分路をC:z(t)=x(t)+iy(t)とすると
0<t<1/12 の時
x(t)=1/t-12+√3/2
y(t)=1/2
1/12≦t≦11/12の時
x(t)=cos(2tπ)
y(t)=sin(2tπ)
11/12<t<1 の時
x(t)=1/(1-t)-12+√3/2
y(t)=-1/2
という曲線になるのですね。
そして
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_08.jpg
がζ関数の一般での定義式になるのですね。

>> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%...
>> に載ってました。
>> Γ(s):=lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)でした。失礼いたしました。
> で, その極限が C から非正の整数を除いたところで
> 存在して,

誠に申し訳ありません。
どうすれば存在が分かりますでしょうか?

> 正則になることが分かりますか.

すいません。lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)の微分
d/ds lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)はどのように計算すればいいのでしょうか?

> # Re(s) > 0 では元の積分表示と一致するので,
> # Re(s) > 0 では極限が存在して, 正則であることは
> # 分かるでしょうが.

はい、Γ(s)はRe(s)>1では正則ですから勿論,極限が存在しますね。

>> p95,命題3.15,(3)では
>> 「χ∈Map(Z_N^×,C^×)なるDirichlet指標でχ(Z_N^×)≠{1}なら
>> L({s∈C;Re(s)>0,χ)⊂CでL(s,χ)はRe(s)>0で正則(微分可能)である。」
>> と述べてありますね。
>> Re(s)>1ではL(s,χ)=Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^sという形をしてますが
>> Re(s)>0ではL(s,χ)はどのような形をしているか分からないのでしょうか?
> Re(s) > 0 では
>  \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
>   = \sum_{m=0}^\infty \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a + m N)^s
>   = \sum_{m=0}^\infty f_m(s)
>     ( f_m(s) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a + m N)^s )
> と括りなおして考えると広義一様収束するので,
> そのような正則関数に一致する関数だと考えます.

L(s,χ)=Σ_{a=1}^∞χ(a)ζ_{≡a(modN)}(s)が一般でのDirichlet L functionの定義式でしたね。

>> そしてp95,命題3.15,(2)では
>> L(s,χ)は複素平面全体に解析接続されるというのだから解析接続の定義より
>> ∀s∈{s∈C;Re(s)>1}ではg(s)=L(s,χ)なるMap(C,C)∋g:正則が存在し,
> 何だか話が食い違っていますね.
> Re(s) > 1 で関数 f(s) を
>  f(s) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s
> で定義すれば, Re(s) > 1 では L(s, \chi) = f(s) となるわけです.

これは分かります。

> L(s, \chi) というのは有理形関数ですから,

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_meromorphic.jpg
が有理型関数の定義ですから
 C＼IsoC(但し,IsoCはCの孤立点の集合)で正則,z∈IsoCでL(s,χ)=Σ_{k=0}^∞c_k(s-z)^k+Σ_{k=1}
^∞ b_k/(s-z)^k (但し{b_k∈C＼{0};k∈N}≠φ)なるc_k,b_k∈が存在するということですよね。

> C から孤立する点集合を除いたところで定義された正則関数で,
> 除かれた孤立点を極とするものです.

ところでCの孤立点って存在するのでしょうか?

> だから, 貴方の言う g(s) の方が L(s, \chi) なのですが,
> 貴方の言う g(s) は最初から C 全体で正則としているのが
> 少しまずい. \chi によっては, L(s, \chi) は極を持ちます.

という事は有理型関数の定義は
『Let C⊃D be an open region. Then Map(D,C∪{∞})∋f is meromorphic on D.
⇔ (i) f is holomorphic on D'⊂D, (ii) if D＼D'≠φ then D＼D'=IsoD and z is
a pole for∀z∈IsoD』
と書き直せますね。

そして,χによってはIsoC={s∈C;L(s,χ)はsで正則}≠φと成り得る場合もあるという事ですね。

なので
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_meromorphic__00.jpg
がDirichletのL関数の一般での定義となるのですね。

>> 更に有理型関数となるというのだから有理形関数の定義より
>> gはC〓IsoCで正則で∀s∈IsoCでsは極を持つ,
>> 即ち,g=Σ_{k=0}^∞c_k(s-a)^k+Σ_{k=1]^∞b_k/(s-a)^k (但し,{b_k∈C;k∈N}≠φ)
>>  と一意的に書けるのですね。
>  a が L(s, \chi) の極であればそうです.
> 但し, b_k についての条件は正確ではありませんが.

その条件とはb_k≠0ですね。

>> でもgの具体的な形は分からないのですよね?
> L(s, \chi) の C から s = 1 を除いたところでの形は
> 分かります.

L(s,χ)=Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)ζ_{a(modN)}(s)ですよね。
でも
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__23.JPG
ではs=1ででも具体的な形を持ったのですね。

>> (2)ではs≠1で正則であると述べてありますが
>> (3)ではL(s,χ)では全複素平面で正則なので
>> L(s,χ)はs=1でも正則なのですよね?
> \chi の像が { 1 } だけでなければ.

ありがとうございます。これは覚えておきます。

>> 明らかにlim_{s→1}(s-1)L(s,χ)=0と言えるのですね?
> 遠回りですね. L(s, \chi) は s = 1 で正則なので,
> 勿論, 連続でもあり, 明らかに
> \lim_{s \to 1} (s-1) L(s, \chi) = 0 です.

そうでした。遠回りでした。

>> Γ(s):=lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)の定義域はC〓(-Z)なのですね。
> 非正の整数の全体を - Z で表すことはないと思います.

そうでしたか。-Nと表すのですね。それともZ^+?

>> -Zの定義域ではΓ関数は非正則なのですね。
> 非正の整数は \Gamma function の極です.
> 定義域とは言わないでしょう.

つまり,極はその関数の∞の値を採るので関数の定義(値域はRかC)なのでその原像を定義域とか言ったりしないのですね。