ご回答誠に有難うございます。

> 工繊大の塚本です.
>> t=exp(2πi x)とζ_N=exp(2πi/N)とからどうしてt=(ζ_N)^aとなるのでしょうか?
> t = (\zeta_N)^a に対して命題 3.3 を適用しようという話です.
> t = (\zeta_N)^a = \exp(2 \pi i x) となる x を定めて,
> 命題 3.3 を適用するわけです.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__09.JPG
でいいのですね。

>> r=1の場合はどのようにしてL(r,χ)に辿り着けるのでしょうか?
>> 1/4Σ_{n∈Z}(Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a+Nn)+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a-Nn))
>> から先に進めません。
> \chi(-1) = -1 という条件から, 実は,
> \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m は収束します.
> ( Abel の定理を使います.)
：
> と, -n を n と置いたり, -m を m と置いたりしながら,
> 最後は \chi(-m) = \chi(-1) \chi(m) = - \chi(m) を用いて,
> 書き直せるわけですが,

そのように書き直せますね。

>  \sum_{n > 0} \sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
>  = \sum_{m=N}^\infty \chi(m)/m
> も,
>  \sum_{n > 0} \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m
>  = \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m
> も収束するので,

『Suppose f(x)=Σ_{k=0}^∞a_kx^k has radius of convergence R=1, and that
Σ_{k=0}^∞a_k converges. Then lim_{x→1-0}f(x)=Σ_{k=0}^∞a_k.』
がAbelの定理ですよね。
Σ_{m=N}^∞χ(m)/m=χ(N+1)/(N+1)+χ(N+2)/(N+2)+χ(N+3)/(N+3)+…
=χ(1)/(N+1)+χ(2)/(N+2)+χ(3)/(N+3)+…
(∵今,χは法NのDirichlet characterなのでDirichlet characterの定義)
からAbelの定理をどのように利用すればいいのでしょうか?

>  \sum_{n > 0} (\sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
>                + \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m)
>  = \sum_{n > 0} \sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
>    + \sum_{n > 0} \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m
>  = \sum_{m=N}^\infty \chi(m)/m + \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m
> となり,
>  \sum_{n \in Z} (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a + Nn)
>                  + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a - Nn))
>  = 4 \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m
> が成立します. つまり,

r=1の時,
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__10.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__11.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__12.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__13.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__14.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__15.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__16.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__17.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__18.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__19.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__20.JPG
という具合に計算できたのですが最後で

1/4(Σ_{m=N+1,m≠nN}^∞χ(m)/m+Σ_{m=-1,m≠-nN}^-∞χ(m)/m+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/a
+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/a+Σ_{m=-1,m≠-nN}^-∞χ(m)/m+Σ_{m=N+1,m≠nN}^∞χ(m)/m)
からどうやって
=1/4(4 \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m)
に持っていけるのでしょうか?

>> 因みにL(r,χ)でのrはr=1では定義されてまんよね(∵Dirichlet's L関数の定義)?
> \chi(-1) = -1 という条件から, L(1, \chi) は収束することが
> 保証されていて, 定義されます.
> 現に, \S 3.1 の公式 (3.2), (3.4) は r = 1 の時であり,
> L(1, \chi) の値から得られています.

つまり,L(s,χ)の定義がよく分かっておりませんでした。
L(s,χ)のsの定義域は{s∈C;Re(s)>1}とは限らずL(s,χ)が収束するようなs全体と言えるのでしょうか?

そうしますと
[定義] Let m∈N and χ^(m)∈DC(m). Then we definite Map({s∈C;Re(s)>1}
×DC(m),C)∋L(,);
L(s,χ^(m)):=Σ_{n=1}^∞χ^(m)(n)/n^s is called Dirichelt L function about
χ.

という定義は間違いでしょうか?