Re: L(r,χ)=1/(r-1)!・(-2πi/N)^r・1/2Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)の証明
工繊大の塚本と申します.
In article <985ebdb5-6ccb-4a70-a6a8-c01763df8057@d27g2000vbz.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [定理3.4] Nを2以上の自然数,χをmodNのDirichlet指標とする。
> rを自然数とし,χ(-1)=(-1)^rの仮定する。
> ζ_N=exp(2πi/N)とおく。
> この時,L(r,χ)=1/(r-1)!・(-2πi/N)^r・1/2Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a).
>
> の証明を
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P092.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P093.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P090.JPG
> を参考に試みています。
>
> でも
> 『命題3.3を用いてΣ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)を書き換えると
> n≧0なら Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a/N+n)^r=N^r Σ_{Nn<m<N(n+1)}χ(m)/m^r』
> の所が分かりません。
> Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)をどのように書き換えてあるのでしょうか?
t = \exp(2 \pi i x) とおくとき, x \in Z でなければ,
h_1(t) = -(1/2)(1/(2 \pi i)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n)),
h_r(t) = (r-1)! (-1/(2 \pi i))^r \sum_{n \in Z} 1/(x+n)^r (r \geq 2),
が成立するというのが命題 3.3 です.
t = (\zeta_N)^a = (\exp(2 \pi i / N))^a = \exp(2 \pi i (a/N))
ですから, x = a/N と考えれば良く, r = 1 なら,
\sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a) h_r((\zeta_N)^a)
= \sum_{a \in (Z/NZ)^\times}
\chi(a) (-(1/2)(1/(2 \pi i))) \sum_{n \in Z} (1/(a/N+n) + 1/(a/N-n))
= (-(1/2)(1/(2 \pi i))) \sum_{n \in Z}
\sum_{a \in (Z/NZ)^\times}
(\chi(a)/(a/N + n) + \chi(a)/(a/N - n))
= (-(1/2)(1/(2 \pi i))) \sum_{n \in Z}
(\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)
+ \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N - n))
となり, r \geq 2 なら
\sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a) h_r((\zeta_N)^a)
= \sum_{a \in (Z/NZ)^\times}
\chi(a) ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z} 1/(a/N+n)^r
= ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z}
\sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a)/(a/N + n)^r
= ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z}
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
となるわけですが, (a が N と素でなければ \chi(a) = 0 に注意,)
そこに現れる
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n),
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N - n),
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r,
を書き直そうというだけです.
n \geq 0 であれば,
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
= \sum_{a=1}^{N-1} N^r \chi(a)/(a + N n)^r
において, a + N n は
N n < m < N (n + 1) を満たす m のいずれかであり,
\chi(a) = \chi(a + N n) = \chi(m) ですから,
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
= N^r \sum_{N n < m < N (n+1)} \chi(m)/m^r
となります.
n < 0 であれば, n' = - n - 1 \geq 0 であり,
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
= \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(- a + N (-n))^r
= \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(N - a + N (-n-1))^r
= \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(N - a + N n'))^r
において, N - a + N n' は
N n' < m < N (n' + 1) を満たす m のいずれかであり,
\chi(a) = \chi(- N + a) = \chi(-1) \chi(N - a)
= (-1)^r \chi(N - a + N n') = (-1)^r \chi(m) ですから,
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
= N^r \sum_{N n' < m < N (n'+1)} \chi(m)/m^r
となります.
結局, 例えば r \geq 2 とすれば,
\sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a) h_r((\zeta_N)^a)
= ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z}
\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
= ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r)
(\sum_{n \geq 0} \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
+ \sum{n < 0} \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r)
= ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) N^r
(\sum_{n=0}^\infty \sum_{N n < m < N (n+1)} \chi(m)/m^r
+ \sum{n'=0}^\infty \sum_{N n' < m < N (n'+1)} \chi(m)/m^r)
= ((r-1)! (-N/(2 \pi i))^r)
(\sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m^r
+ \sum{m=1}^\infty \chi(m)/m^r)
= (r-1)! (-N/(2 \pi i))^r \cdot 2 \cdot L(r, \chi)
となるわけです. (\chi(N n) = 0 等に注意.)
r = 1 の場合も同様です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp
Fnews-brouse 1.9(20180406) -- by Mizuno, MWE <mwe@ccsf.jp>
GnuPG Key ID = ECC8A735
GnuPG Key fingerprint = 9BE6 B9E9 55A5 A499 CD51 946E 9BDC 7870 ECC8 A735