工繊大の塚本と申します.

In article <985ebdb5-6ccb-4a70-a6a8-c01763df8057@d27g2000vbz.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [定理3.4] Nを2以上の自然数,χをmodNのDirichlet指標とする。
> rを自然数とし,χ(-1)=(-1)^rの仮定する。
> ζ_N=exp(2πi/N)とおく。
> この時,L(r,χ)=1/(r-1)!・(-2πi/N)^r・1/2Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a).
> 
> の証明を
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P092.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P093.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P090.JPG
> を参考に試みています。
> 
> でも
> 『命題3.3を用いてΣ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)を書き換えると
> n≧0なら Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a/N+n)^r=N^r Σ_{Nn<m<N(n+1)}χ(m)/m^r』
> の所が分かりません。
> Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)をどのように書き換えてあるのでしょうか?

 t = \exp(2 \pi i x) とおくとき, x \in Z でなければ,

  h_1(t) = -(1/2)(1/(2 \pi i)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n)),
  h_r(t) = (r-1)! (-1/(2 \pi i))^r \sum_{n \in Z} 1/(x+n)^r  (r \geq 2),

が成立するというのが命題 3.3 です.
 t = (\zeta_N)^a = (\exp(2 \pi i / N))^a = \exp(2 \pi i (a/N))
ですから, x = a/N と考えれば良く, r = 1 なら,

  \sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a) h_r((\zeta_N)^a)
  = \sum_{a \in (Z/NZ)^\times}
      \chi(a) (-(1/2)(1/(2 \pi i))) \sum_{n \in Z} (1/(a/N+n) + 1/(a/N-n))
  = (-(1/2)(1/(2 \pi i))) \sum_{n \in Z}
      \sum_{a \in (Z/NZ)^\times}
         (\chi(a)/(a/N + n) + \chi(a)/(a/N - n))
  = (-(1/2)(1/(2 \pi i))) \sum_{n \in Z}
      (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)
       + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N - n))

となり, r \geq 2 なら

  \sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a) h_r((\zeta_N)^a)
  = \sum_{a \in (Z/NZ)^\times}
      \chi(a) ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z} 1/(a/N+n)^r
  = ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z}
      \sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a)/(a/N + n)^r
  = ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z}
      \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r

となるわけですが, (a が N と素でなければ \chi(a) = 0 に注意,)
そこに現れる

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n),
  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N - n),
  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r,

を書き直そうというだけです.

 n \geq 0 であれば,

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
  = \sum_{a=1}^{N-1} N^r \chi(a)/(a + N n)^r

において, a + N n は
 N n < m < N (n + 1) を満たす m のいずれかであり,
 \chi(a) = \chi(a + N n) = \chi(m) ですから,

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
  = N^r \sum_{N n < m < N (n+1)} \chi(m)/m^r

となります.

 n < 0 であれば, n' = - n - 1 \geq 0 であり,

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
  = \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(- a + N (-n))^r
  = \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(N - a + N (-n-1))^r
  = \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(N - a + N n'))^r

において, N - a + N n' は
 N n' < m < N (n' + 1) を満たす m のいずれかであり,
 \chi(a) = \chi(- N + a) = \chi(-1) \chi(N - a)
 = (-1)^r \chi(N - a + N n') = (-1)^r \chi(m) ですから,

  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
  = N^r \sum_{N n' < m < N (n'+1)} \chi(m)/m^r

となります.

結局, 例えば r \geq 2 とすれば,

  \sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a) h_r((\zeta_N)^a)
  = ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z}
      \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
  = ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r)
    (\sum_{n \geq 0} \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
     + \sum{n < 0} \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r)
  = ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) N^r
    (\sum_{n=0}^\infty \sum_{N n < m < N (n+1)} \chi(m)/m^r
     + \sum{n'=0}^\infty \sum_{N n' < m < N (n'+1)} \chi(m)/m^r)
  = ((r-1)! (-N/(2 \pi i))^r)
    (\sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m^r
     + \sum{m=1}^\infty \chi(m)/m^r)
  = (r-1)! (-N/(2 \pi i))^r \cdot 2 \cdot L(r, \chi)

となるわけです. (\chi(N n) = 0 等に注意.)
 r = 1 の場合も同様です.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp