ご回答誠に有難うございます。


>> [定理3.4] Nを2以上の自然数,χをmodNのDirichlet指標とする。
>> rを自然数とし,χ(-1)=(-1)^rの仮定する。
>> ζ_N=exp(2πi/N)とおく。
>> この時,L(r,χ)=1/(r-1)!・(-2πi/N)^r・1/2Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a).
>> の証明を
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P092.JPG
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P093.JPG
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P090.JPG
>> を参考に試みています。
>> でも
>> 『命題3.3を用いてΣ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)を書き換えると
>> n≧0なら Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a/N+n)^r=N^r Σ_{Nn<m<N(n+1)}χ(m)/m^r』
>> の所が分かりません。
>> Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)をどのように書き換えてあるのでしょうか?
> t = \exp(2 \pi i x) とおくとき, x \in Z でなければ,
>  h_1(t) = -(1/2)(1/(2 \pi i)) \sum_{n \in Z} (1/(x+n) + 1/(x-n)),
>  h_r(t) = (r-1)! (-1/(2 \pi i))^r \sum_{n \in Z} 1/(x+n)^r  (r \geq 2),
> が成立するというのが命題 3.3 です.

はい、そうですね。

> t = (\zeta_N)^a

t=exp(2πi x)とζ_N=exp(2πi/N)とからどうしてt=(ζ_N)^aとなるのでしょうか?

> = (\exp(2 \pi i / N))^a = \exp(2 \pi i (a/N))
> ですから, x = a/N と考えれば良く, r = 1 なら,
：
> となるわけですが, (a が N と素でなければ \chi(a) = 0 に注意,)

そうですね。

> そこに現れる
>  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n),
>  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N - n),
>  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r,
> を書き直そうというだけです.
> n \geq 0 であれば,
>  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
>  = \sum_{a=1}^{N-1} N^r \chi(a)/(a + N n)^r
> において, a + N n は
> N n < m < N (n + 1) を満たす m のいずれかであり,
> \chi(a) = \chi(a + N n) = \chi(m) ですから,
>  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
>  = N^r \sum_{N n < m < N (n+1)} \chi(m)/m^r
> となります.

そうですね。

> n < 0 であれば, n' = - n - 1 \geq 0 であり,
>  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
>  = \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(- a + N (-n))^r
>  = \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(N - a + N (-n-1))^r
>  = \sum_{a=1}^{N-1} (-N)^r \chi(a)/(N - a + N n'))^r
> において, N - a + N n' は
> N n' < m < N (n' + 1) を満たす m のいずれかであり,
> \chi(a) = \chi(- N + a) = \chi(-1) \chi(N - a)
> = (-1)^r \chi(N - a + N n') = (-1)^r \chi(m) ですから,
>  \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
>  = N^r \sum_{N n' < m < N (n'+1)} \chi(m)/m^r
> となります.

これもそうですね。

> 結局, 例えば r \geq 2 とすれば,
>  \sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a) h_r((\zeta_N)^a)
>  = ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) \sum_{n \in Z}
>      \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
>  = ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r)
>    (\sum_{n \geq 0} \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r
>     + \sum{n < 0} \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a/N + n)^r)
>  = ((r-1)! (-1/(2 \pi i))^r) N^r
>    (\sum_{n=0}^\infty \sum_{N n < m < N (n+1)} \chi(m)/m^r
>     + \sum{n'=0}^\infty \sum_{N n' < m < N (n'+1)} \chi(m)/m^r)
>  = ((r-1)! (-N/(2 \pi i))^r)
>    (\sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m^r
>     + \sum{m=1}^\infty \chi(m)/m^r)
>  = (r-1)! (-N/(2 \pi i))^r \cdot 2 \cdot L(r, \chi)
> となるわけです. (\chi(N n) = 0 等に注意.)
> r = 1 の場合も同様です.

ありがとうございます。r≧2の時は
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__00.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__01.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__02.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__03.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__04.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__05.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__06.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__07.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__08.JPG
という具合にL(r,χ)に辿り着けました。

r=1の場合はどのようにしてL(r,χ)に辿り着けるのでしょうか?
1/4Σ_{n∈Z}(Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a+Nn)+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a-Nn))
から先に進めません。

因みにL(r,χ)でのrはr=1では定義されてまんよね(∵Dirichlet's L関数の定義)?