工繊大の塚本です.

In article <e7a265bb-7901-49f8-a767-a2bf042238a7@m40g2000vbt.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> t=exp(2πi x)とζ_N=exp(2πi/N)とからどうしてt=(ζ_N)^aとなるのでしょうか?

 t = (\zeta_N)^a に対して命題 3.3 を適用しようという話です.
 t = (\zeta_N)^a = \exp(2 \pi i x) となる x を定めて,
命題 3.3 を適用するわけです.

> r=1の場合はどのようにしてL(r,χ)に辿り着けるのでしょうか?
> 1/4Σ_{n∈Z}(Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a+Nn)+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a-Nn))
> から先に進めません。

 \chi(-1) = -1 という条件から, 実は,
 \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m は収束します.
( Abel の定理を使います.)

  \sum_{n \in Z} (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a + Nn)
                  + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a - Nn))
  = \sum_{n > 0} (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a + Nn)
                  + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a - Nn))
    + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a
    + \sum_{n < 0} (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a + Nn)
                    + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a - Nn))
  = \sum_{n > 0} (\sum_{Nn < m < Nn+N)} \chi(m)/m
                  + \sum_{-Nn < m < -Nn+N} \chi(m)/m)
    + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a
    + \sum_{n < 0} (\sum_{Nn < m < Nn+N)} \chi(m)/m
                    + \sum_{-Nn < m < -Nn+N} \chi(m)/m)
  = \sum_{n > 0} (\sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
                  + \sum_{Nn-N < -m < Nn} \chi(m)/m)
    + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a
    + \sum_{n > 0} (\sum_{-Nn < m < -Nn+N)} \chi(m)/m
                    + \sum_{Nn < m < Nn+N} \chi(m)/m)
  = \sum_{n > 0} (\sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
                  + \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m)
    + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a
    + \sum_{n > 0} (\sum_{Nn-N < -m < Nn)} \chi(m)/m
                    + \sum_{Nn < m < Nn+N} \chi(m)/m)
  = \sum_{n > 0} (\sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
                  + \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m)
    + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a
    + \sum_{n > 0} (\sum_{Nn-N < m < Nn)} \chi(-m)/(-m)
                    + \sum_{Nn < m < Nn+N} \chi(m)/m)
  = \sum_{n > 0} (\sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
                  + \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m)
    + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/a
    + \sum_{n > 0} (\sum_{Nn-N < m < Nn)} \chi(m)/m
                    + \sum_{Nn < m < Nn+N} \chi(m)/m)

と, -n を n と置いたり, -m を m と置いたりしながら,
最後は \chi(-m) = \chi(-1) \chi(m) = - \chi(m) を用いて,
書き直せるわけですが,

  \sum_{n > 0} \sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
  = \sum_{m=N}^\infty \chi(m)/m

も,　

  \sum_{n > 0} \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m
  = \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m

も収束するので,

  \sum_{n > 0} (\sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
                + \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m)
  = \sum_{n > 0} \sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m
    + \sum_{n > 0} \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m
  = \sum_{m=N}^\infty \chi(m)/m + \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m

となり,

  \sum_{n \in Z} (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a + Nn)
                  + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a - Nn))
  = 4 \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m

が成立します. つまり,

  ((-2 \pi i)/N)(1/2) \sum_{a \in (Z/NZ)^\times} \chi(a) h_1((\zeta_N)^a)
  = \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m
  = L(1, \chi)

となるわけです.

> 因みにL(r,χ)でのrはr=1では定義されてまんよね(∵Dirichlet's L関数の定義)?

 \chi(-1) = -1 という条件から, L(1, \chi) は収束することが
保証されていて, 定義されます.
現に, \S 3.1 の公式 (3.2), (3.4) は r = 1 の時であり,
 L(1, \chi) の値から得られています.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp