工繊大の塚本です.

 \zeta function の積分表示は貴方が何処かからか
見つけて来たもので, 岩波講座 現代数学の基礎
「数論１」加藤和也・黒川重信・斎藤毅著 のもの
とは違うわけですが,

In article <6abcd07c-ee5d-4308-98ab-83ab44652dfa@ct4g2000vbb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110612232214.M0122310@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > ここでもきちんと書き写せていませんね.
> >  \zeta(s) = 1/((e^{2 \pi s} - 1) \Gamma(s)) \int_C u^{s-1}/(e^u - 1) du
> > です.
> 
> 大変ありがとうございます。ここでのCは任意の単純曲線
> C:={z(t);z(t)=x(t)+iy(t)はa≦t≦bにて連続曲線}で宜しいのでしょうか?

良いわけがないでしょう. 前にも,
自分で見つけて来た積分公式なのだから,
 C がどのような積分路であるか,
自分で調べておくように申し上げた筈です.

実際には <110128180718.M0124317@ras1.kit.ac.jp>
に書いておいた通り, 「複素数平面上で,
正の無限大から原点まで実軸の上側を通り,
原点を反時計回りして,
原点から正の無限大まで実軸の下側を通る積分路」
を取るわけです.

> Γ関数(Γ∈Map(C,C∪{∞}))の複素平面全体での定義式は
> Γ(s):=lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^s (s+k)なので

何処にそんなことが書いてありましたか.
複素数 s について \prod_{k=0}^s とはどういう操作ですか.

> > 更に, \chi(-1) = -1 であれば,
> > \lim_{s \to 1} (s-1) L(s, \chi) = 0 と *なる* ことも
> > 書いてある筈です.
> 
> えっ? どこにもそのような記述は見当たりませんが。。。

 \chi の像が { 1 } でないなら,
 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は Re(s) > 0 で
広義一様収束するので, L(s, \chi) は Re(s) > 0 で
正則になることが, 命題 3.15 (3) の証明を見れば
分かります. L(s, \chi) が s = 1 で正則であれば,
 \lim_{s \to 1} (s-1) L(s, \chi) = 0 です.
その位は読み取らねばなりません.

> > もう何度も何度も書いていますが,
> > \Gamma(s) の広義積分による定義が有効であるのは,
> > Re(s) > 1 においてではなく,
> > Re(s) > 0 においてです.
> 
> そうでした。Γ関数では定義域はRe(s)>1ではなくRe(s)>0でしたね。

 \Gamma 関数は複素数平面 C 上の有理形関数で,
特異点としては非正の整数のみを一位の極として持ちます.
定義域というなら C から非正の整数を除いたところです.

> [Def585]と[Def586]は上述の通り,複素平面での定義式が分かりましので
> f(s)云々はナンセンスでした。

それがナンセンスであるのと同様,

> [Def666]と[Def668]は
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_07.jpg
> を参照して定義域を複素平面全体に拡張する為に独自でf(s)を加筆しただけですが。

その加筆もナンセンスで, 全く間違っています.

> > 先ずは, 文章を正しく書き写すことが出来るように
> > 御努力下さい.

> "解析接続される"という表現の意味は
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_continuation.jpg
>  のような写像gが採れるという事ではないのでしょうか。

分かっているではないですか.
もっとも, 「独自で f(s) を加筆」したりするところを見ると,
「意味」が分かっているわけではないようですが.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp