ご回答誠に有難うございます。

>>> |\sum_{k=n}^m \chi(k)| \leq M となる M の存在を言って,
>>> 上の Abel の定理を使えば, \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n の
>>> 収束が出ます.
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__...
>> という具合に利用するのかと思いましたが
>> χ(1)=1,χ(-1)=-1だけ分かっていてχ(2),χ(3),…,χ(N-2)の具体値が
>> 分からないので|Σ_{m=1}^∞χ(m)|をこのMでは押えれませんね。
>> どのようにしてMを探せばいいのでしょうか?
> \chi(-1) = -1 から, \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) = 0 が
> 分かります. 一般に, N と素な m で \chi(m) が 1 でない
> ものがあれば, \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) = 0 です.
> 岩波講座 現代数学の基礎「数論１」加藤和也・黒川信重・斎藤毅
> の 97 page の問 3 とその直ぐ上の文を御覧下さい.
> 上はこのことから従います.

[問3] Gを有限群とし,χをGからC^×への準同型とするとΣ_{a∈G}χ(a)=0ですね。
これはどのようにして証明できるのでしょうか?

これが証明できれば定理3.4ではχの定義域は
法Nの乗法群Z_N^×:={amodN;a∈{0,1,…,N-1},GCD{a,N}=1}ですがχの値域はC^×とは記されてないですがどうして
C^×分かるのでしょうか?
そしてC^×の定義はC^×:={z∈C;GCD{z,N}=1}で宜しいでしょうか?

>> f_2∈Map(D_2,C);D_2∋∀s→f_2(s):=Σ_{n=1}
>> ^∞χ(n)/n^sとすると
> \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s という形では
> 定義できない領域に解析接続したいという話なので,
> f_2(s) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s と書いては
> 意味がありません.

でっではどうすればいいのでしょうか?

>> f_2|D_1=f_1となりますのでf_2はf_1のD_1上での解析接続となりますよね。
> f_2(s) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s と書いた時点で,
> 貴方が解析接続を理解していないことが分かりました.

Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^s は飽くまで{s∈C;Re(s)>1}という定義域でのL(s,χ)の定義式でしたね。

> もう一度, \zeta(s) とはどのように定義されたか,
> Re(s) > 1 で定義された \sum_{n=1}^\infty 1/n^s の
> 解析接続とはどういうものか, 復習されてから,
> お考え下さい.

すいません。ζ関数は{s∈C;Re(s)>1}では正則でζ(s):=Σ_{n=1}^∞1/n^sと書けるという事しか分かりません。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_continuation.jpg
を使ってどのようにζ関数の定義を拡張すればいいのでしょうか?

>> 従って,DirichletのL関数の一般での定義は
>> 『χ∈DC(m):={χ∈Map(Z,C);法m(∈N)のDirichlet character}とすると
>> L(,)∈Map(D_2×DC(m),C);D_2×DC(m)∋∀(s,χ)→L(s,χ):=Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^s』
>> で宜しいでしょうか?
> 宜しくありません.
> 実は「数論１」の後の方に, L(s, \chi) がどのように
> 定義されるかが書いてあります. 95 page の命題 3.15 です.

ありがとうございます。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_00.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_01.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_02.jpg
が有理形関数の定義ですよね
(但し,IsoD:={z∈C;z is an isolated point of D})。

でもって
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_03.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_04.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_05.jpg
がL(s,χ),Γ(s),ζ(s),ζ_{amodN}ζ(s,x){s∈C;Re(s)>1}からCへ拡張した定義になるのでしょうか?

>>>特に, s = 1 でも
>>> ベキ級数が収束していれば, Abel の定理で,
>>> L(1, \chi) はそのベキ級数の値に等しくなります.
> 命題 3.15 の (2) だけを使って, s = 1 が高々極である
> ことを用いれば, 上のように言えるのですが,
> 実は (3) が用意されていました.

うーん、すいません。いまいち意味が分かりません。

>> つまり,(Σ_{m=1}^∞χ(m)/m=)L(1,χ)∈Cなら
>> L(1,χ)はそのベキ級数に等しくなる,
>> つまり,L(1,χ)=Σ_{m=1}^∞χ(m)/mという事ですかな。。
>> (当たり前のことではないでしょうか?)
> ちょっと違います. 例えば, \log(1+x) は x > -1 で
> 定義されていて, -1 < x < 1 では x = 0 のまわりでの
> Taylor 展開 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} x^n/n と
> 一致していますが, そして
> \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} / n は収束しますが,
> \log 2 = \log(1+1) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}/n
> となることは自明ではありません.
> # これは複素関数 \log(1+z) と
> # ベキ級数 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} z^n/n との関係
> # でも同じことです.

ふーむ。難しいですね。

>> 正しくはどのように定義を書けばいいのでしょうか?
> 命題 3.15 の (3) を使えば, \chi(-1) = -1 の時は,
> \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s が
> Re(s) > 0 で広義一様収束し, ある正則関数を
> 与え,
> それは全複素平面 C 上に正則に解析接続される
> ことが分かるので,

"解析接続される"とは
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_continuation.jpg
のような写像gが採れるという事ですよね。
L(s,χ)の解析接続gとしてどのようなgが採れるのでしょうか?