ご回答誠に有難うございます。

> \zeta function の積分表示は貴方が何処かからか
> 見つけて来たもので,

ググって見つけたものだと思います。

> 岩波講座 現代数学の基礎
> 「数論１」加藤和也・黒川重信・斎藤毅著 のもの
> とは違うわけですが,

もうしわけありません。

>>> ここでもきちんと書き写せていませんね. \zeta(s) = 1/((e^{2 \pi s} - 1)
>>> \Gamma(s)) \int_C u^{s-1}/(e^u - 1) du です.
>> 大変ありがとうございます。ここでのCは任意の単純曲線
>> C:={z(t);z(t)=x(t)+iy(t)はa≦t≦bにて連続曲線}で宜しいのでしょうか?
：
> 原点から正の無限大まで実軸の下側を通る積分路」
> を取るわけです.

積分路は
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/integral_path.jpg
となるのですね。

>> Γ関数(Γ∈Map(C,C∪{∞}))の複素平面全体での定義式は Γ(s):=lim_{n→∞}n^s
>> n!/Π_{k=0}^s (s+k)なので
> 何処にそんなことが書いてありましたか.

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0
に載ってました。

> 複素数 s について \prod_{k=0}^s とはどういう操作ですか.

Γ(s):=lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)でした。失礼いたしました。

>>> 更に, \chi(-1) = -1 であれば, \lim_{s \to 1} (s-1) L(s, \chi) = 0
>>> と *なる* ことも 書いてある筈です.
>> えっ? どこにもそのような記述は見当たりませんが。。。
> \chi の像が { 1 } でないなら,
> \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は Re(s) > 0 で
> 広義一様収束するので, L(s, \chi) は Re(s) > 0 で
> 正則になることが, 命題 3.15 (3) の証明を見れば
> 分かります.

p95,命題3.15,(3)では
「χ∈Map(Z_N^×,C^×)なるDirichlet指標でχ(Z_N^×)≠{1}なら
L({s∈C;Re(s)>0,χ)⊂CでL(s,χ)はRe(s)>0で正則(微分可能)である。」
と述べてありますね。
Re(s)>1ではL(s,χ)=Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^sという形をしてますが
Re(s)>0ではL(s,χ)はどのような形をしているか分からないのでしょうか?
そしてp95,命題3.15,(2)では
L(s,χ)は複素平面全体に解析接続されるというのだから解析接続の定義より
∀s∈{s∈C;Re(s)>1}ではg(s)=L(s,χ)なるMap(C,C)∋g:正則が存在し,
更に有理型関数となるというのだから有理形関数の定義より
gはC＼IsoCで正則で∀s∈IsoCでsは極を持つ,
即ち,g=Σ_{k=0}^∞c_k(s-a)^k+Σ_{k=1]^∞b_k/(s-a)^k (但し,{b_k∈C;k∈N}≠φ)と一意的に書け
るのですね。でもgの具体的な形は分からないのですよね?
(2)ではs≠1で正則であると述べてありますが(3)ではL(s,χ)では全複素平面で正則なので
L(s,χ)はs=1でも正則なのですよね?

> L(s, \chi) が s = 1 で正則であれば,
> \lim_{s \to 1} (s-1) L(s, \chi) = 0 です.
> その位は読み取らねばなりません.

これはつまりs=1で正則(微分可能)だというのだから
α:=lim_{s→1}(L(s,χ)-L(1,χ))/(s-1)∈Cと言え,
もしα=0なら,(L(s,χ)-L(1,χ))は(s-1)^2を因数に含む事が分かり,
明らかにlim_{s→1}(s-1)L(s,χ)=0で
α≠0なら,(L(s,χ)-L(1,χ))は(s-1)を因数に含む事が分かり,
明らかにlim_{s→1}(s-1)L(s,χ)=0と言えるのですね?

>>> もう何度も何度も書いていますが, \Gamma(s) の
>>> 広義積分による定義が有効であるのは,
>>> Re(s) > 1 においてではなく, Re(s) > 0 においてです.
>> そうでした。Γ関数では定義域はRe(s)>1ではなくRe(s)>0でしたね。
> \Gamma 関数は複素数平面 C 上の有理形関数で,
> 特異点としては非正の整数のみを一位の極として持ちます.
> 定義域というなら C から非正の整数を除いたところです.

Γ(s):=lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)の定義域はC＼(-Z)なのですね。
-Zの定義域ではΓ関数は非正則なのですね。

>> [Def666]と[Def668]は
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_07.jpg
>> を参照して定義域を複素平面全体に拡張する為に
>> 独自でf(s)を加筆しただけですが。
> その加筆もナンセンスで, 全く間違っています.

はい。失礼いたしました。

>> > 先ずは, 文章を正しく書き写すことが出来るように 御努力下さい.
>> "解析接続される"という表現の意味は
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/analytic_con...
>> のような写像gが採れるという事ではないのでしょうか。
> 分かっているではないですか.
> もっとも, 「独自で f(s) を加筆」したりするところを見ると,
> 「意味」が分かっているわけではないようですが.

すいません。何となく分かりかけてきているような。。