ご回答誠に有難うございます。遅くなりまして大変申し訳ありません。


>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__11.jpg
>> と訂正致しました。これならいかがでしょうか?
> 間違ってはいないようですが, 無理に分かり難くすることに意味はないでしょう.

有難うございます。

> そもそも, 極とは何か, の定義から始めるのが自然でしょう.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_pole__01.pdf
で宜しかったでしょうか?
(IS(f)はfの孤立特異点の集合を表してます)

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_meromorphic__12.jpg
>> で宜しかったでしょうか?
> 同じものなら, 繰り返すのは止めましょう.

失礼いたしました。

>>> 間違ってはいません. ウィキペディアにおける「ピカールの定理」の
>>> 記述同様, 力点の置かれ方が変だとは思います.
>> すっすいません。力点の置かれ方とはどういう事でしょうか?
> 何処を強調するかの判断が間違っているだろうということです.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_great__01.jpg
ではいかがでしょうか?

>> もう一度ググってみましたら,
>> "Any entire analytic function whose range omits two points must be a
>> constant function."とありましたので
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_little__02.jpg
>> と再訂正致しました。これなら如何でしょうか? 値域から2点を取り除きました。
> 全然駄目なことに変わりはありません. 勘違いしているのでしょう.
> f(z) = z は C 上の整関数で, 値域は 3 点以上を含みますが,
> f を値域から 2 点を除いたものの逆像, 即ち, C から 2 点を
> 除いたものに制限するとき, それは定数関数ですか.

いえ,違います。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_little__03.jpg
としてみたのですが,これもf(x):=zを当てはめて考えると間違いである事がわかります。 

んー、Picardの小定理はPicardの大定理の系だそうですが,
Picardの大定理でのz_0,δ,U_δをどのように見立てればいいのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_bounded_on_neighbourhood__01.jpg
>> と訂正致しました。これなら如何でしょうか?
> そもそも「有界でない」ことを定義することはないでしょう.
> 「有界である」ことを定義しておけば良い. それはさておき,
> 「有界である」ことの定義に使われる Ball の中心は
> 考えている距離空間のどこにあっても良いわけですが,
> z_0 は C^m の点であるように見えますが,
> f の像は C^n の中にあるようですから,
> 貴方の書いた式は意味を為しません.

これは誠に申し訳ありません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_bounded_on_neighbourhood__03.jpg
と訂正致しました。これならいかがでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000631__01.pdf
>> と改善してみましたが,これでもまだ排除できてないでしょうか?
> [Prop192.10006306(Lebesgue's theorem(C version))] のところは
> 直りましたが,
> [Prop192.1000631(Lebesgue's theorem(C^n version))] のところは
> 駄目です.
：
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100065__04.pdf
>> と大幅訂正致しました。
> ここでは
> [Prop192.1000631(Lebesgue's theorem(C^n version))] のところも
> 直っていますね. しかし,

有難うございます。
[Prop192.10006305(Lebesgue's theorem(C version))]
[Prop192.1000631(Lebesgue's theorem(C^n version))]
はあと
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006303__00.pdf
という具合に[Prop192.10006303]を完成させねばならないのですがどうしても,
IがC^n空間でのLebesgue可測集合⇔{(Re(z),Im(z))∈R^2;z∈I}は(R^n)^2空間でのLebesgue可測集合
を示せばならないのですがなかなか上手くいきません(明らかなようですがいざ証明するとなると…)。
どうすれば示せますでしょうか?

尚,Lbg(C^n)はC^nの通常の位相T_{C^n}で生成されるσ集合体にLebesgue零集合を併せた集合です(Borel集合体の完備化)。

>> Prop192.100065(Lebesgueの定理の複素数の連続バージョン)まで
>> 漸くたどり着けました。
> だから, [1.8] の記述自体がおかしいと
> 何度言えば分かっていただけるのでしょうか.
> f^{-1} の中味では Ball も抜けています.

これは有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__15.JPG
でいいのですね。

>> 因みにLbg(R)はBorelσ集合体:Brl(R)の完備化として定義して,
>> Lbg(R^2):=Lbg(R)<×>Lbg(R)
>>  ←積σ集合体
>> と定義いたしました。
> 普通, R^2 の Lebesgue 可測集合の定義はそれとは違います.
> その積σ集合体自体は完備にならないので, それの完備化を
> 考えます.

えっ?
Lbg(R):=span(T_{R})∪{N;Nはλでの零集合} (但し,λは一次元の実Lebesgue測度)に於いて
完備測度空間(R,Lbg(R),λ)と(R,Lbg(R),λ)との積測度空間(R^2,Lbg(R)<×>Lbg(R),λ^2)の 

積σLebesgue集合体Lbg(R)<×>Lbg(R)をLbg(R^2)と定義したのですが。

> だから, [Prop192.1000625] は誤りです.

そうですか。。では[Prop192.10006303]の証明はどうすれば。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006303__00.pdf

>> ただ,5ページのProp192.10006303の証明がどうしてもわかりません。
>> 一体どのようにすればいいのでしょうか?
> Lebesgue 測度というのは, 区間の積から生成される σ-代数
> 上

これはBrl(C^n):=span(T_{C^n}) (但し,T_{C^n}はC_nの通常の位相),つまりBorel集合体の事ですよね。

>に与えた測度を完備化したもので,

完備化ですから
Lbg(R):=Brl(C^n)∪{N;Nはλでの零集合} (但し,λは一次元の複素Lebesgue測度)
とを組み合わせた, (C^n,Lbg(C^n),λ)が完備化された測度空間ですよね。

>完備化の一意性を考えれば, 自明です.

完備化とは{N;Nはλでの零集合}を付加する事なので一意的になる事は分かります。

>> Prop192.100063025にて,位相同型である事は分かり,
>> 従って,位相的性質は保存されるという定理があるのは知ってますが,
>> 位相的性質とは何か調べてみましたら,位相同型になっている場合という事で
>> 循環論法になってしまい,
> C^n と (R^n)^2 とが位相同型であることを示したのではないのですか.

はい,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006239__00.pdf
と証明できました。

> 随分と色々と書いているところを見ると,
> ひょっとすると示すことに失敗しているのかも知れませんが,
> そこまでチェックする気にはなれません.
> 距離空間として同型であることを示すのが早い.

上記の具合ででもいいのですよね。

ちなみに, C^n と (R^n)^2 とが位相同型なので
A⊂C^nはLebesgue可測⇔{(Re(z),Im(z));z∈A}はLebesgue可測
というのが成立つのかと推測しますが,そもそも"位相的性質"とは何なのでしょうか?

> ところで, 区間の積から生成される σ-代数と,
> Borel 集合族, 即ち, 開集合から生成される σ-代数とが
> 一致することは御存じでしょうね.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006239__00.pdf
での[Prop192.10006236]から直ちに言えますね。

>> 結局,Prop192.10006303を示すのに,Prop192.100063025は使えないようなのです。
> 使うと言うほどのことでもないと思います.

そうですか。

>> CとR^2が同一視可能だから,A∈Lbg(C)なら,
>> {(x,y)∈R^2;x+yi∈A}∈Lbg(R^2)と結論付けるのは軽率ですよね?
> それは, Lebesgue 可測集合とは何か, が,
> ちゃんと分かっているかどうかに依存します.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006267__00.pdf
と証明できました。これでいかがでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__14.jpg
>> ですね。仰る通り,\setminus f^-1(l,ε))　を付け忘れておりました
>> (後,s_0\not∈Aと書き換えました)。
> 指摘が御理解いただけていないようです.
> ここでも Ball が抜けていますね.
> 記号列の意味をもう一度日本語で書き下して見ては如何でしょうか.

上記の通り,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__15.JPG
と訂正させていただきました。

>> どっどうしてでしょうか?  何か不味い事でもあるのでしょうか?
> 誰もそれが複素数の 0 を表しているとは考えず,
> 言葉が通じないという事態が当然起こります.

つまり,自然数の0と複素数の0とは異なるという事ですね。
実数とはCauchy有理数列から成る同値類の事でしたから,自然数の0と実数の0からして異質なものでしたね。

>> どうして,カオスについて考える事がそんなにタブーなのでしょうか?
> 貴方の定義をだれも採用しないだろうと言っているだけです.
> カオスについてはもっと厳密な定義が必要です.

そうでしたか。そうしますと
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
『複素数列 {ｚn} のつくる点列はｎを無限大としたとき，次の４つに分かれることが知られています．
1. １点に収束する　　　　 　　　　　　
2. 有限個の点の間を周期的に振動する　　
3. ある領域を不規則に動き回る
4. 発散する　　　　　　　　　　　　　　
　このうち３番目の状態を“カオス”といいます．』
と4つに分類可能だが,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_chaos__01.jpg
という具合に収束でも振動でもない発散をカオスと定義しましたがこれでもまだ不厳密なのですね。

>> (複素解析にて滅多にカオスについて議論なされる事ので
>> カオスに考える必要性は無いという事は分かりましたが)
> この段階ではそうでしょうね.

了解です。

>> すっすみません。これもどうして意味が無いでしょうか?
> 貴方の身勝手な, 無根拠な定義であるからです.

そうですか。カオスの正しい定義はどのようなものなのでしょうか?

>> やはり,カオスは滅多に議論される事が無いので無意味なのですね。
> 貴方の身勝手な, 無根拠な定義であるから無意味なのです.

http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
から
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_chaos__01.jpg
という定義も無根拠でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10007__18.pdf
>> と(ii)まで証明できました。
> Fubini の定理が成立していることを認める, というだけです.

そうですね。(ii)はFubiniの定理でいけますね。
[Prop192.10007](iii)については
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__06.pdf
という風にして示せました。これで大丈夫でしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__05.pdf
>> という具合に大幅訂正致しました。これで如何でしょうか?
> まあ, 余り読みたくなかったのですが, 読んで見ると言わないといけない.
> [Prop192.100067] においても A は実１次元の「線分」ですが,
> 「その上」で定義された関数 \phi に対して, それが C^1 級であるとか,
> ((d/dt)\phi)(t) とかは, どういう定義で考えているのでしょうか.

lim_{H∋h→0}(φ(s+h)-φ(s))/h (但し,H:={h∈C;s+h∈A∋s})
という定義にしてるのですがこれでは不味いでしょうか?

> [Prop192.1000675] などでは h は 0 でない実数としているのですが,
> 複素変数に付いての微分を考えるための準備ではないのですか.

そうでしたね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__02.jpg
と訂正いたしました。これで大丈夫でしょうか?

> 後の方でも (Re s, Im s) が出て来るかと思えば
> s \in B の B は実数の部分集合だったりとか,
> 支離滅裂です.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__06.pdf
でBを複素数の部分集合に訂正致しました。

>> [3.9]と[7.9]の箇所の理由が分からないのですが
>> どうすれば∂/∂s φ(x,s)がA×[s-ε,s+ε]で連続が言えるでしょうか?
> 何を仮定して考えているのでしょうか.

A:=[a,b]は有界,
φ≠B⊂CでBは開領域か閉領域,
Map(A×B,C)∋φはA×Bで連続で∀x∈Aに対して,B上でC^1級,
(a_n)は(a_n)∈[-ε,ε]^ωでlim_{n→∞}a_n=0 (つまり, a_1,a_2,…∈[-ε,ε]),
Lbg(R)はLebesgueσ集合体.
を仮定していて,この時,
∂/∂s φ(x,s)はf_n(x)の(殆ど至る所)極限関数となっていて,優関数g(x)の存在をいいたく,
[3.7]で具体的に作って見せて,g(x)が[a,b]上可積となる理由を[3.9]の行から述べているのですが、、

>> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%B8%AC%E5%BA%A6
>> より
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_measure__01.jpg
>> でいいのですね。
> 私が指摘したのは, ここでは複素測度を考える必要は全くない
> ということです.
> 更に指摘をしておくと, Wikipedia の記述を信頼してはいけません.

そうなのですか。
『大きさ（長さ、面積、体積）が複素数であるような集合も』
というのもおかしいですよね。大きさが複素数だなんて。

> どの σ-代数の元に対しても値が有限であるなら,
> \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) は常に絶対収束するのでないと
> 意味がありません.

これは,つまり,サイトではμ:Σ→Cで,そして(A_n)_nは素集合の列としてあるので,
X⊃∪_{n=1}^∞A_n∈Σ…(*).
この時,μ(∪_{n=1}^∞A_n)=Σ_{n=1}^∞μ(A_n)が絶対収束しない(発散する)なら,
+∞=Σ_{n=1}^∞|μ(A_n)|<|μ(X)|(∵(*)) ∈R (∵μの値域はC)となり,矛盾するからなのでしょうか?

取り敢えず
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_measure__02.jpg
が複素測度の定義で正しいのですね。

>> 複素級数の発散なので"\not ∈C∪{∞}"としました
> その場合はありません.
>> (∵Σ_{i=1}^∞μ(b_i)=∞は無限遠点に"発散する"とは呼ばずに
>> "収束する"と呼ぶのでしたよね)。
> 貴方の定義では, 無限遠点に値を取る場合も考えていません.

たしかに。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_measure__01.jpg
ではμの値域には無限遠点はありませんね。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_Lebesgue_measure__00.jpg
>> という複素Lebesgue測度の定義でいいのですね。
> 普通, そういったものを「複素 Lebesgue 測度」とは呼ばないでしょう.
> R^n 上で定義されるものも, C^n を (R^n)^2 = R^{2n} と同一したもの
> の上で定義されるものも, 単に, Lebesgue 測度, です.
> 貴方自身誤解してしまうような, 紛らわしい用語は避けましょう.

そうでした。これから使わないようにします。