工繊大の塚本です.

In article <lcmuil$p2u$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_pole__01.pdf
> で宜しかったでしょうか?
> (IS(f)はfの孤立特異点の集合を表してます)

和文のコピーの所は間違ってはいませんが,
その前の円環領域で正則な関数のローラン展開の r_1 = 0 の場合
との関連が意識されていないとすれば, 理解ができているとは
言えないでしょう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/theorem_Picard_s_great__01.jpg
> ではいかがでしょうか?

定理の前提部分「 z_0 が f の真性特異点であるとき」の表現が
出鱈目ですね.

> んー、Picardの小定理はPicardの大定理の系だそうですが,
> Picardの大定理でのz_0,δ,U_δをどのように見立てればいいのでしょうか?

 z_0 として無限遠点を取ることになります.
全複素平面上で正則な関数は, リーマン球面上で考えるとき,
無限遠点の近傍から無限遠点を除いたところで正則になります.
無限遠点がその関数の真性特異点になる場合とそうでない場合に
分けて考えることになることは Wikipedia にも書かれています.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_bounded_on_neighbourhood__03.jpg
> と訂正致しました。これならいかがでしょうか?

書かれていることが混乱しています.
 f は C^n 値関数ですか, C 値関数ですか.
 f は z_0 で定義されていますか, いませんか.

> [Prop192.10006305(Lebesgue's theorem(C version))]
> [Prop192.1000631(Lebesgue's theorem(C^n version))]
> はあと
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006303__00.pdf
> という具合に[Prop192.10006303]を完成させねばならないのですがどうしても,
> IがC^n空間でのLebesgue可測集合
> ⇔{(Re(z),Im(z))∈R^2;z∈I}は(R^n)^2空間でのLebesgue可測集合
> を示せばならないのですがなかなか上手くいきません
> (明らかなようですがいざ証明するとなると…)。
> どうすれば示せますでしょうか?

 C^n の矩形集合には R^{2n} の矩形集合が対応して同じ測度を持ち,
 C^n のボレル集合には R^{2n} のボレル集合が対応して同じ測度を持ち,
両者で同じ完備化をしているのですから
一致するのは当たり前です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_1000635__15.JPG
> でいいのですね。

目標が分かっていますか.
目標はは S の元 (a_n) で \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \ell でないもの
一つの存在を示すことで, その為に,
 S の元 (a_n) で, どの n についても,
 f(a_n) が Ball(\ell, \epsilon) に入らないもの
一つの存在を示そうとしている筈ですが,
その目標に [1.8] は合致していますか.

> In article <131206214502.M0106974@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 普通, R^2 の Lebesgue 可測集合の定義はそれとは違います.
> > その積σ集合体自体は完備にならないので, それの完備化を
> > 考えます.
> 
> えっ?
> Lbg(R):=span(T_{R})∪{N;Nはλでの零集合}
> (但し,λは一次元の実Lebesgue測度)に於いて
> 完備測度空間(R,Lbg(R),λ)と(R,Lbg(R),λ)との
> 積測度空間(R^2,Lbg(R)<×>Lbg(R),λ^2)の 
> 積σLebesgue集合体Lbg(R)<×>Lbg(R)をLbg(R^2)と定義したのですが。

その定義では R^2 上の Lebesgue 測度が完備ではなくなります.
前にも指摘しましたが, R の非可測集合 A に対して,
 A \times {0} は 1 次元の Lebesgue 可測集合二つの積から生成される
 2 次元の \sigma-集合体には入りませんが,
その 2 次元の \sigma-集合体上に一先ず定義された測度については
測度零です.

> そうですか。。では[Prop192.10006303]の証明はどうすれば。
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006303__00.pdf

証明が当たり前だと思えないのはその勘違いに依るのではありませんか.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006239__00.pdf
> と証明できました。

空間の topology というのは空間の開集合全体のことであった筈ですが,
一体 [Prop192.10006236] の証明は何を述べているものでしょうか.
位相空間としての C^n と R^{2n} とが homeomorphic である,
という言い方をするのであって,
 C^n の topology と R^{2n} の topology とが homeomorphic である,
とは言いません.
 C^n から R^{2n} への全単射 f が存在して,
 f により惹起される C^n の部分集合の全体から R^{2n} の部分集合全体への
写像に於いて, C^n の topology の元が R^{2n} の topology の元に
対応することを示すのです.
 f を C^n の topology から R^{2n} の topology への写像とするのでは
駄目です.

> 上記の具合ででもいいのですよね。

駄目です.

> ちなみに, C^n と (R^n)^2 とが位相同型なので
> A⊂C^nはLebesgue可測⇔{(Re(z),Im(z));z∈A}はLebesgue可測
> というのが成立つのかと推測しますが,そもそも"位相的性質"とは何なのでしょうか?

 topology から導かれるすべてのこと.
例えば topology から生成される \sigma-集合体が対応する
とかといったことです.

> > ところで, 区間の積から生成される σ-代数と,
> > Borel 集合族, 即ち, 開集合から生成される σ-代数とが
> > 一致することは御存じでしょうね.
> 
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006239__00.pdf
> での[Prop192.10006236]から直ちに言えますね。

この言明から [Prop192.10006236] で言いたかったことは想像が付きますが,
ちょっと違います. もっとも, 証明に一つもまともな部分がないから,
単に駄目ですね.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10006267__00.pdf
> と証明できました。これでいかがでしょうか?

 Lebesgue 可測集合の特徴付けとして,
どんな正数 \epsilon にたいしても, その集合を含む開集合で
差集合の Lebesgue 外測度が \epsilon 未満のものが存在する,
というのは正しいですが, この場合は使い難いだけでしょう.
その (proof) は G' を a_\lambda, b_\lambda, c_\lambda, d_\lambda
を用いて表そうとしている時点で破綻しています.

> そうでしたか。そうしますと
> http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
> 『複素数列 {ｚn} のつくる点列はｎを無限大としたとき，
> 次の４つに分かれることが知られています．
> 1. １点に収束する　　　　 　　　　　　
> 2. 有限個の点の間を周期的に振動する　　
> 3. ある領域を不規則に動き回る
> 4. 発散する　　　　　　　　　　　　　　
> 　このうち３番目の状態を“カオス”といいます．』

これは駄目です. z_n = \cos n + i \sin n のような点列は
 3. に入れるしかありませんが,
これを「カオス」とは普通呼びません.

> と4つに分類可能だが,
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_chaos__01.jpg
> という具合に収束でも振動でもない発散をカオスと定義しましたが
> これでもまだ不厳密なのですね。

それをカオスと呼んでは混乱するだけです.
 
> そうですか。カオスの正しい定義はどのようなものなのでしょうか?

ありません.

> http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/c_seq/c_seq.htm
> から
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_chaos__01.jpg
> という定義も無根拠でしょうか?

はい.

> [Prop192.10007](iii)については
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__06.pdf
> という風にして示せました。これで大丈夫でしょうか?

 [Prop192.100069] の証明に於いて,
極限と積分の順序交換を正当化するために,
 Lebesgue の定理が援用されていますが,
 g(x) が [a, b] 上で有界であることの証明が欠けています.

> lim_{H∋h→0}(φ(s+h)-φ(s))/h (但し,H:={h∈C;s+h∈A∋s})
> という定義にしてるのですがこれでは不味いでしょうか?

 A は a と b とを結ぶ「線分」ですから,
 s も s + h も A に入っているなら,
 s = a + t_0 (b - a), s + h = a + t (b - a) とするとき
 \lim_{t \to t_0} (\phi(a+t(b-a)) - \phi(a+t_0(b-a)))/((t-t_0)(b-a))
 = (1/(b-a)) (d/dt)(\phi(a+t(b-a)))|_{t=t_0}
のことを (d \phi/dt)(t_0) とする, ということなら,
そう言わなければなりません.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100067__02.jpg
> と訂正いたしました。これで大丈夫でしょうか?

 [Prop192.100067] には証明が欠けています.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_100069__06.pdf
> でBを複素数の部分集合に訂正致しました。

それよりも大きな問題が残っています.

> > 何を仮定して考えているのでしょうか.
> 
> A:=[a,b]は有界,
> φ≠B⊂CでBは開領域か閉領域,
> Map(A×B,C)∋φはA×Bで連続で∀x∈Aに対して,B上でC^1級,
> (a_n)は(a_n)∈[-ε,ε]^ωでlim_{n→∞}a_n=0 (つまり, a_1,a_2,…∈[-ε,ε]),
> Lbg(R)はLebesgueσ集合体.
> を仮定していて,この時,
> ∂/∂s φ(x,s)はf_n(x)の(殆ど至る所)極限関数となっていて,
> 優関数g(x)の存在をいいたく,
> [3.7]で具体的に作って見せて,
> g(x)が[a,b]上可積となる理由を[3.9]の行から述べているのですが、、

その方針が良いかどうかはともかく,
 (\partial \phi/\partial s)(x, s) の連続性は始めから仮定している
のではないのですか.

> これは,つまり,サイトではμ:Σ→Cで,そして(A_n)_nは素集合の列としてあるので,
> X⊃∪_{n=1}^∞A_n∈Σ…(*).
> この時,μ(∪_{n=1}^∞A_n)=Σ_{n=1}^∞μ(A_n)が絶対収束しない(発散する)なら,
> +∞=Σ_{n=1}^∞|μ(A_n)|<|μ(X)|(∵(*)) ∈R (∵μの値域はC)となり,
> 矛盾するからなのでしょうか?

絶対収束しないということと発散するということとは違います.
収束するが絶対収束しない場合に,
 \sum_{n=1}^\infty |\mu(A_n)| と |\mu(X)| とが
その大小関係を持つことは直ぐには出ないでしょう.
もう少し丁寧な議論が必要です.

> 取り敢えず
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_complex_measure__02.jpg
> が複素測度の定義で正しいのですね。

はい.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp