ご回答大変有難うございます。

> 直接, 線形性を示す証明は無いでしょう. だから,
> そういう証明でない, 正規直交基底と射影を用いた
> 証明を示しました.

なるほど。そうでしたね。
{OX_1,OX_2,…,OX_d}が正規直交なら{OS''(X_1),OS''(X_2),…,OS''(X_d)}も正規直交。
よってS''は直交変換となるので,S''は回転だと言えたのでしたね。