いつも大変お世話になっております。
プリント配布からの問題です。

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/problem3.jpg
3. Suppose S is a similarity.
(a) Show that S maps a line segment to a line segment.
(b) Show that if L_1 and L_2 are two segments that make an angle
α,then S(L_1) and S(L_2) make an angle α or -α.
(c) Show that every similarity is a composition of a translation, a
rotation (possibly improper), and a dilation.
の問題です。

Similarlityの定義です。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p341_008.jpg
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p343_002.jpg
『Cantor集合CとSierpinski triangle S ,von Koch曲線Kは重要な性質をシェアする。これら集合の夫々はそれ自身
の縮小複製を含む。
更にこれら夫々の例はそれの縮小のプロセスの繰り返しにより構築される。
例えば,区間[0,1/3]は1/3の因子による縮小されたCantor集合の複製を含む。その同じものは区間[2/3,1]で真で,それで従って
C=C_1∪C_2,
但し,C_1とC_2はCの縮小版である。更に各区間[0,1/9],[2/9,3/9],[6/9,7/9],[8/9,1]は1/9の因子での縮小
されたCの複製を含む。など。
　Sierpinski triangleの場合は初世代の中の各3つの小三角形夫々が1/2の因子による縮小のSの複製を含む。従って
S=S_1∪S_2∪S_3,
但し,各S_j,j=1,2,3,は初三角形の縮小と平行移動で得られる。より一般的にはk世代での各三角形は1/2^kの因子による縮小されたSの複
製である。
 最後に, von Koch曲線の構築の初ステージでの各線分は縮小と可能な回転のvon Koch曲線の複製によりもたらされる。実際,
K=K_1∪K_2∪K_3∪K_4,
但し,K_j,j=1,2,3,4,はそれの平行移動と回転によるKの縮小により得られる。
 従ってこれらの各例が含むがそれ自身の模倣はより小さい。この節では,我々はself-similarityの考えに基づく詳細な定義を与え,これら
の集合のHausdorff次元を決定する定理を証明する。
 写像 S:R^d→R^dはもし,
|S(x)-S(y)|=r|x-y|
ならratio r>0でのsimilarityという。
それはあらゆるR^dでのsimilarityは平行移動,回転,rによる拡大の合成写像であるという事が示され得る。
有限個の同ratio rでのsimilarities S_1,S_2,…,S_mが与えられたとするともし,F=S_1(F)∪S_2(F)∪…
∪S_m(F)なら集合F⊂R^dはself-similarであるという』

|S(x)-S(y)|=r|x-y|でのx,yは任意のR^dの元ですよね。

それで問題3についてですがSがsimilarityだというのだから,0<∃r∈R;∀x,y∈R^dに対して,|S(x)-S(y)|=r|x-
y|と書ける。

(a)については『Sは線分から線分への写像である』
このSはSierpinski triangleと解釈していいのでしょうか?
そうだとすると具体的にどうやって証明すればいいのでしょうか?

(b)については『もしL_1とL_2が角度αを作る2つの線分だとするとその時,S(L_1)とS(L_2)は角度αか-αを作る』
はどのようにして証明すればいいのでしょうか?

(c)についは『あらゆるsiilarityは平行移動,回転,考えによっては不適切な拡大である事を示せ』
はどのようにして証明すればいいのでしょうか?

吉田京子