工繊大の塚本です.

In article <1ff5692a-a1e3-4540-96e5-3f911fbe9fdd@g1g2000yqh.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 何か不具合が生じておられるのですね。
> こちらは特に不具合等は見受けられませんが。

 Google での表示で, 該当の記事の「詳細オプション」を
クリックして, 出てくる「オリジナルを表示」をクリック
すると, 本文がべたっとした文字の並びに変換されている
ことが分かります. 日本語の文字コードが utf-8 で投稿
されるとそうなるようです. そういった記事は極限られた
範囲にしか流通しません.

> これは5つの公理系に合同の公理(?)を付け加えれば
> 現代的な意味での公理系なるのですね。

そういうわけではありません. 実際どうかは「幾何学基礎論」
を御覧下さい.

> そうなのですが,,帰納法で示そうとしているのですが

それは方針が悪い.

> うーん,そうしますとどうやって,Σ_{i=1}^d b_i S''(OX_i)=Σ_{i=1}^d b_iOS''(X_i)
> の変形はできますでしょうか?

 S'' は「線分を線分に写す」ことを既に知っていますから,
線分 OX_i は線分 S''(O)S''(X_i) に写ります. S''(O) = O
だから S''(OX_i) = OS''(X_i) です.

> えっ? S''はsimilarityではないのですか?

貴方は「 S'' が r が 1 でない similarity である」ことを
意味する式を書いたのですよ.

> 「 S'' は, O を O に移す, ratio が 1 の similarity である
> ということだけが分かります. そのことから,」
> と仰ってますが。。

既に S'' は r = 1 の similarity であると示してあるのに,
それと矛盾することを書いて平気でいるのが信じられません.

> もし存在しない仮定してみると,任意のLの線分Zに対して,
> S''(Z)もまた線分である。。。
> これが直線である事はどうすれば言えますでしょうか?

つまり, その部分の証明は思いついていなかったわけですか.
証明を飛ばしているので「荒い」と評価したのですが,
そういう自分を誤魔化すような書き方はするべきではありません.

直線 AB が直線 S''(A)S''(B) に写ることは, 例えば,
直線 AB 上の点 C が, 線分 AB の B の側への延長上にあるとき,
 S''(C) も線分 S''(A)S''(B) の S''(B) の側への延長上に
あることを示せば良いわけですが, それは,
 |AC| = |AB| + |BC| から
 |S''(A)S''(C)| = |S''(A)S''(B)| + |S''(B)S''(C)|
となっていて, S''(B) が線分 S''(A)S''(C) 上にある
ことから導かれます.
 
> すいません。
> 「A:=Σ_{i=1}^d a_i OH_i　ならS''(A)=Σ_{i=1}^d a_i OS''(H_i) となるのですね」
> でしょうか?

私が言ったのは, H を点 A の直線 OX への射影とすれば,
 S''(A) の OS''(X) への射影は S''(H) になる, です.

 A の各 OX_i への射影を H_i とすれば, S''(A) の
 OS''(X_i) への射影は S''(H_i) となります.
 OX_i らが正規直交基底をなすことから,
 OA = Σ_{i=1}^d OH_i,
 OS''(X_i) らも正規直交基底をなすことから,
 OS''(A) = Σ_{i=1}^d OS''(H_i) です.
ここで, OH_i = a_i OX_i とすれば,
 |OH_i| = |OS''(H_i)|, etc., となることから,
 OS''(H_i) = a_i OS''(X_i) と, 同じ係数 a_i
を用いて表されることが分かります. これから,
 OA = Σ_{i=1}^d a_i OX_i のとき,
 OS''(A) = Σ_{i=1}^d a_i OS''(X_i) が
導かれます.

> これは「Σ_{i=1}^d b_i S''(OX_i) =Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)の時
> a_i = b_i」から言えるのですね。

意味不明です. 言える理由は上の通りです.

> (p_{ij}a_i)ではなく(p_{ij})なのですか。

当然でしょう. 「表現行列」を知っていますか?

> それはそうですが
> 任意の直交変換fは基底を決めないと表しようがありませんよね。
> 任意の直交変換の基底はどのように決めればいいのでしょうか?

直交変換と言うのは, 内積を持つベクトル空間について
定まる概念で, 基底には依らない概念です. 任意の正規
直交基底を固定しておけば, それについての表現行列が
直交行列であると言うことでも確かめられます. だから,
最初は標準基底を取っておいても良いのです. しかし,
それの標準形を求めようと思えば, つまり, それを簡単
な形で表そうと思えば, 基底は取り直すことになります.

> これは
> 「高次元の det = 1 の直交変換を回転とは普通呼びません.」
> に由来する事ですね。

違います. 3次元のときでも, 任意の直交変換は,
それに対して正規直交基底をうまく取れば,
 det = 1 のときは R(θ), 1 を対角線に並べた行列で,
 det = -1 のときは R(θ), -1 を対角線に並べた行列で
表現できる, ということの意味を, 貴方は理解できて
いなかったではありませんか.

> つまり,高次元では回転やimproperな回転の定義は無いのですね。
> あるのは直交変換と行列式が1か-1になることぐらいなのですね。
> それは4次元以上になると回転という動作を考える事が難しいならなのでしょうか?

 R(θ_1), R(θ_2) etc. のように「回転角」がいくつも
あるようなものを単純に「回転」と呼ぶのは, 誤解を招く
恐れがあるでしょう,
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp