ご回答大変有難うございます。

>> なるほど。z ∈ L ⇔ |x - z| + |z - y| = |x - y|が線分の定義なのですね。
> Euclid 空間における普通の線分の定義について
> それが成立していることを示すのは, 問題を解く
> 貴方の責任です.

「z ∈ L ⇔ |x - z| + |z - y| = |x - y|」は線分の定義でなく必要十分条件なのでしょうか?
そうしますと線分定義とは何なのでしょう?

>>> similarity S について, V = S(O) - O とすると,
>> VはベクトルS(O)O ですね。
> 順序が逆. ベクトルOS(O).

失礼いたしました。

>>> V の平行移動 T_V  (T_V(x) = x + V) の逆変換 T_{-V}
>> T_{-V}(x)=V-xですね。
> T_{-V}(x) = x + (-V) です.

これも有難うございます。

>>>  S'(O) = O であり,
>> この等式はどのようにして示せますか? S'(O)=T_{-V}○S(O)(∵S'の定義)
>> =V-S(O)(∵T_{-V}の定義) からどうなりますか?
> S'(O) = T_{-V}○S(O) = T_{-V}(S(O)) = S(O) + (-V) = S(O) - (S(O) - O) = O.

有難うございます。

>>> ベクトル OX_i らを正規直交基底とすれば, ベクトル OS''(X_i)
>> らも正規直交基底となり, # 何故かはお考え下さい.
>> 正規直交なので∀i≠jに対し,<OX_i,OX_j>=0で,|OX_i,OX_i|=1ですね。
> |OX_i,OX_i| とは何でしょう.

OX_iのノルムの意味です。

>> その時,直行する事は
> 直交することは, D_{1/r} が直交するベクトルを
> 直交するベクトルに移すことと, similarity S' が
> (b) で既に見たように, 直交するベクトルを
> 直交するベクトルに移すことから, 明らかです.

そうでしたね。(b)を使えば明らかでしたね。

>> 正規になる事は |OS''(X_i)-OS''(X_i)|=|OS''(X_i)-OS''(X_i)|
> 示すべきは |OS''(X_i)| = 1 ですね.

これもそうでした。すいません。
これはS''が2点間の距離を変えない,原点を原点に写す写像ですから
1=|OX_i|=|OS(X_i)|ですね。

>> となって1になりませんが何処が間違っているのでしょうか?
> 一番最初です.

すいません。ボケておりました。

>>> ベクトル OY = Σ a_i OX_i の S'' による像 ベクトル OS''(Y) について
>>> OS''(Y) = Σ a_i OS''(X_i) が成立しますから, # 何故かはお考え下さい.
> OS''(Y) から a_i OS''(X_i) はどういう性質の
> ベクトルとして, 或いは, O を始点とするとき,
> ベクトル a_i OS''(X_i) の終点はどういう性質の
> 点として定まるのか, お考え下さい.

S''=D_{1/r}○S○T_{-V}なのでがOX_iをVの分だけ平行移動し,r倍の拡張,1/r倍の拡張してa_i倍の拡張だから
結局,OX_iをVの分だけ平行移動し,a_i倍の拡張ですね。
つまり,終点X_iはVの分だけ平行移動し,a_i倍の拡張ですね。
つまり,S''はスカラー倍について閉じているという訳で,S''は線形になるのですね。

>>> 実は S'' は線形写像で, しかも直交変換です.

そうですね。S''は正規直交性を保存しましたからね。

>> 上記のOS''(Y) = Σ a_i OS''(X_i)からS''は線形写像と言えますね。
>> S''が直行変換「∀X,Y∈R^dに対し,<S''(X),S''(Y)>=<X,Y>」である事は
> 長さと角度を保存する変換であれば, 内積は保存されます.

そうですね。直交変換なら内積を保存しますね。

>>> S = T_V○D_r○S'' となります.
>> で結局,Sを任意のsimilarityとするとS=T_V○D_r○S''で これがどうして平行移動&回転&拡縮
>> の合成からなっていると分かるのでしょうか? S''はどんな写像か分からないのですよね。
> 平面での直交変換は, 回転か, 「回転と線対称の合成」,

線対称。裏返しですね。

> 即ち, improper な「回転」のどちらかになります.

裏返し&回転をimproperな回転というのですね。

> お確かめ下さい.

結局,S=T_V○D_r○S''と表せたので,Sは回転と拡縮と平行移動の合成になるのですね。
んん? S''がimproperな回転になるのはどうすれば確かめれますか?