ご回答大変有難うございます。

> L を x, y を端点とする線分として,
> S(L) が線分となることは,
> z ∈ L ⇔ |x - z| + |z - y| = |x - y|
> という線分上の点の特徴づけを使えば,
> 簡単です.

なるほど。z ∈ L ⇔ |x - z| + |z - y| = |x - y|が線分の定義なのですね。
あとは|S(x) -S( z)| + |S(z) -S(y)|=r|x-z|+r|z-y|=r(|x-z|+|z-y|)=r|x-y|
で上手くいきました。

>> え? 具体的にどのようにするのでしょうか?
> △ABC と △S(A)S(B)S(C) が相似であることを用いれば,
> ∠BAC = ∠S(B)S(A)S(C) は明らかです.

これも上と同様にしてうまくいきました。相似比1:rになるのですね。

>>> 任意の similarity は, 平行移動と原点を固定する similarity の合成で
>> あることを示します. 原点を固定する similarity は
>> (原点を中心とする) 拡大・縮小と直交変換
>>> の合成であることを示します. それで御仕舞です.
>> すいません。具体的にどのようにするのでしょうか?
> 具体的には上に書いた通りですが.
> similarity S について, V = S(O) - O とすると,

VはベクトルS(O)O ですね。

> V の平行移動 T_V  (T_V(x) = x + V) の逆変換
> T_{-V}

T_{-V}(x)=V-xですね。

> と S の合成 T_{-V}○S = S' はやはり
> similarity になります.

|S'(x)-S'(y)|=|T_{-V}○S(x)-T_{-V}○S(y)|=|T_{-V}(S(x))-T_{-V}(S(y))|
=|S(x)+V-(S(y)+V)| (∵T_{-V}の定義)
=|S(x)-S(y)|
=r|x-y|
で上手くいきました。

> (平行移動では二点間の
> 距離は変化しません.) S'(O) = O であり,

この等式はどのようにして示せますか?
S'(O)=T_{-V}○S(O)(∵S'の定義)
=V-S(O)(∵T_{-V}の定義)
からどうなりますか?

> S = T_V○S' となります.

T_{-V}○S = S'より(∵S'の定義)
T_V○T_{-V}○S = T_V○S'
T_V○T_V^-1○S = T_V○S'
id○S = T_V○S'
S = T_V○S'
と上手くいきました。

> S' が二点間の距離を r 倍にするなら, D_{1/r}
> (D_{1/r}(x) = (1/r) x) という線形な拡大・縮小
> の写像を使って, D_{1/r}○S' = S'' という合成
> 写像を考えると, S'' は二点間の距離を変えない,
> 原点を原点に移す写像です.

S''(O)=D_{1/r}○S' (O)=D_{1/r}(O) (∵上記S'(O) = Oより)
=1/r(0,0,…,0)=(0,0,…,0)=O
で確かに原点を原点に移す写像ですね。

> ベクトル OX_i らを正規直交基底とすれば,
> ベクトル OS''(X_i) らも正規直交基底となり,
> # 何故かはお考え下さい.

正規直交なので∀i≠jに対し,<OX_i,OX_j>=0で,|OX_i,OX_i|=1ですね。
その時,直行する事は
<OS''(X_i),OS''(X_j)>=<OS''(X_i),OS''(X_j)>
=<D_{1/r}○S'(X_i),D_{1/r}○S'(X_j)>
からどうなりますでしょうか?
上記からS'(O)=OでしょうがS'(X_j)は何になるのでしょうか?
正規になる事は
|OS''(X_i)-OS''(X_i)|=|OS''(X_i)-OS''(X_i)|
=|D_{1/r}○S'(X_i)-D_{1/r}○S'(X_i)|
=|D_{1/r}(S'(X_i))-D_{1/r}(S'(X_i))|
=|D_{1/r}(T_{-V}○S(X_i))-D_{1/r}(T_{-V}○S(X_i))|
=|D_{1/r}(T_{-V}(S(X_i)))-D_{1/r}(T_{-V}(S(X_i)))|
=|D_{1/r}(V-S(X_i))-D_{1/r}(V-S(X_i))|(∵(T_{-V}の定義)
=|1/r(V-S(X_i))-1/r(V-S(X_i))|(∵D_{1/r}の定義)
=|1/r||(V-S(X_i))-(V-S(X_i))|(∵内積の定義)
=|1/r||-S(X_i)+S(X_i)|
=|1/r||O|==|1/r|0=0
となって1になりませんが何処が間違っているのでしょうか?

> ベクトル OY = Σ a_i OX_i の S'' による像
> ベクトル OS''(Y) について
> OS''(Y) = Σ a_i OS''(X_i) が成立しますから,
> # 何故かはお考え下さい.

OS''(Y)=S''(O)S''(Y)(∵上記S''(O)=O)
=S''(Y)-S''(O)(∵幾何ベクトルの定義)
=S''(Y)-O(∵上記S''(O)=O)
=S''(Y)
=S''(OY)(∵幾何ベクトルの定義)
=S''(Σ a_i OX_i )(∵OY = Σ a_i OX_i )
=S''(a_1 OX_1+a_2 OX_2+…+a_d OX_d)
からどうすれば
=a_1S''(OX_1)+a_2S''(OX_2)+…+a_dS''(OX_d)
になりましょうか?

> 実は S'' は線形写像で, しかも直交変換です.

上記のOS''(Y) = Σ a_i OS''(X_i)からS''は線形写像と言えますね。
S''が直行変換「∀X,Y∈R^dに対し,<S''(X),S''(Y)>=<X,Y>」である事は
<S''(X),S''(Y)>=<D_{1/r}○S'(X),D_{1/r}○S'(Y)>
=<D_{1/r}(S'(X)),D_{1/r}(S'(Y))> (∵S''の定義)
=<D_{1/r}(T_{-V}○S(X)),D_{1/r}(T_{-V}○S(Y))>(∵S''の定義)
=<D_{1/r}(T_{-V}(S(X))),D_{1/r}(T_{-V}(S(Y)))>
=<D_{1/r}(V-S(X)),D_{1/r}(V-S(Y))>(∵T_{-V}の定義)
=<1/r(V-S(X)),1/r(V-S(Y))>(∵D_{1/r}の定義)
=1/r<V-S(X),V-S(Y)>(∵内積の定義)
=1/r(<V,V>+<V,-S(Y)>+<-S(X),V>+<-S(X),-S(Y)>(∵内積の定義)
=1/r(<V,V>+<V,O-S(Y)>+<O-S(X),V>+<O-S(X),O-S(Y)>(∵幾何ベクトルの定義)
=1/r(<V,V>+<V,OS(Y)>+<OS(X),V>+<OS(X),OS(Y)>(∵幾何ベクトルの定義)
からどのようになりましょうか?

> S' = D_r○S'' ですから,

D_{1/r}○S' = S''がS''の定義でしたから
D_{1/r}^-1○D_{1/r}○S' = D_{1/r}^-1○S''
id○S'=D_{1/r}^-1○S''
S'=D_{1/r}^-1○S''
S'=D_{r}○S'' (∵D_{1/r}の定義)
と上手くいきました。

> S = T_V○D_r○S'' となります.

S' = D_r○S''ならT_{-V}○S=D_r○S''(∵S'の定義)で
T_V○T_{-V}○S=T_V○D_r○S''
T_V○T_V^-1○S=T_V○D_r○S''(∵T_{-V}の定義)
id○S=T_V○D_r○S''
S=T_V○D_r○S''
と上手くいきました。

で結局,Sを任意のsimilarityとするとS=T_V○D_r○S''でこれがどうして平行移動&回転&拡縮の合成からなっていると分かるので
しょうか?
S''はどんな写像か分からないのですよね。