ご回答大変有難うございます。

> 投稿の仕方を変更されましたか?

いえ,従来のままIE6で投稿しておりますが。

> 貴方の投稿は base64 に encode されていて,
：
> 止めます.

何か不具合が生じておられるのですね。
こちらは特に不具合等は見受けられませんが。

>> そうしますとこれすらも使えないのであればどうすればいいのでしょうか?
> ユークリッド空間が正定値内積を備えたベクトル空間に付随する
> アフィン空間であるという立場からの証明は既に示しました.

「だから線分上にある, といった初等幾何的な話は使わずに,
：
  = 0」
でしたね。有難うございます。

左アフィン空間とは
「Vを線形空間,Xを集合,fをX×X→Vの写像とする。
集合XがVを線形空間とするfについての左アフィン空間
⇔(def)
(i) ∀v∈V,∀A∈Xに対し,∃!B∈X;v=f(A,B),
(ii) ∀A,B,C∈Xに対し,f(AB)+f(BC)=f(AC)
が成り立つ」
右アフィン空間とは
「Vを線形空間,Xを集合,fをX×X→Vの写像とする。
集合XがVを線形空間とするfについての右アフィン空間
⇔(def)
(i) ∀v∈V,∀B∈Xに対し,∃!A∈X;v=f(A,B),
(ii) ∀A,B,C∈Xに対し,f(AB)+f(BC)=f(AC)
が成り立つ」
ですね。
そして,アフィン空間の定義は
「Vを線形空間,Xを集合,fをX×X→Vの写像とする。
集合XがVを線形空間とするfについてのアフィン空間
⇔(def)
集合XがVを線形空間とするfについての左アフィン空間かつ右アフィン空間」
ですね。

>> 下記が幾何学での5つの公理ですね(Wikiより抜粋)。
：
> 使って実際に幾何学を議論するに於いては図形の合同に
> ついての直感的理解が前提とされていて, 現代的な意味
> での公理系とはなっていません.

これは5つの公理系に合同の公理(?)を付け加えれば現代的な意味での公理系なるのですね。

>> 現代的な意味とはどういうことでしょうか?
> 詳しくお知りになりたければ, 岩波数学辞典(第4版)の
> 80 幾何学基礎論 をお読みになることをお勧めします.
> 471 ユークリッド幾何学 も御参照下さい.

有難うございます。参考になります。

>> S''(Z)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i) =Σ_{i=1}^d b_i S''(OX_i) =Σ_{i=1}^d b_i
>> OS''(X_i)
> どんな点の位置ベクトルも任意の正規直交基底の一次結合で
> 表現できるのは当然ですが, a_i = b_i を示したい.

そうなのですが,,帰納法で示そうとしているのですが
d=1の時は
Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)=Σ_{i=1}^1 b_i OS''(X_i)=b_1OS''(X_1)
で一方,
S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)=S''(Σ_{i=1}^1 a_i OX_i)=S''(a_1OX_1)
=S''(a_1X_1-a_1O)
から
=a_1S''(X_1)-a_1S''(O)にはどうすれば持っていけますでしょうか

>> (∵Zは長さを変えない)
> この意味付けは意味不明です.

うーん,そうしますとどうやって,Σ_{i=1}^d b_i S''(OX_i)=Σ_{i=1}^d b_iOS''(X_i)
の変形はできますでしょうか?

>> よって,任意の点A,Bと任意のスカラーa,bに対し,aOA=aΣ_{i=1}^d,OX_i
>> bOB=bΣ_{i=1}^d OX_iと表す事にすると
> 各 OX_i についての係数がないのでは, そのようには表せません.

これはそうでした。各係数が全て等しいとは限りませんものね。

>> S''(aOA+bOB)=S''((a+b)Σ_{i=1}^d OX_i) (∵幾何ベクトルの分配法則,加法についての
>> 交換法則) から(a+b)Σ_{i=1}^d OS''(X_i)はどうすれば言えますでしょうか?
> だからこの問も無意味ですね.

すいません。そうでした。

>> 任意のX,Y∈R^dに対して|S''(X)-S''(Y)|=r|X-Y|なるr∈Rがある事を
>> 言えばいいのですよね。
> 既に, r = 1 でそれが成立することを示した筈です.

すいません。見つけれませんで。

>> |S''(X)-S''(Y)|=|D_{1/r}○S'(X)-D_{1/r}○S'(Y)|(∵S''の定義)
>> =|D_{1/r}○T_{-V}(S(X))-D_{1/r}○T_-{V}(S(Y))|(∵S'の定義)
>> =|D_{1/r}(V-S(X))-D_{1/r}(V-S(Y))|(∵T_{-V}の定義)
>> =|1/r(S(O)-O-S(X))-1/r(S(O)-O-S(Y))|(∵D_{1/r}の定義) =|1/rS(X)-1/rS(Y)|
>> =|1/r||S(X)-S(Y)| =|1/r||X-Y| (∵今,Sはratio 1のsimilarity)
> S の最初の仮定は similarity であるということだけで,
> その r をずっと使っているので, |S(X) - S(Y)| = r|X - Y|
> です.

そうですね。
「=|1/r||S(X)-S(Y)| =|1/r|r|X-Y| (∵今,Sはratio 1のsimilarity)
=|1/r||S(X)-S(Y)|=|X-Y|」
でS''はratio1のsimilarityですね。

>> で確かにS''はsimilarityですね。
> どうしてわざわざ間違った話にするのでしょうか.

えっ? S''はsimilarityではないのですか?
「 S'' は, O を O に移す, ratio が 1 の similarity である
ということだけが分かります. そのことから,」
と仰ってますが。。

> % 任意の線分を線分に写すのだから,直線を直線に写す
> % (∵もし直線が直線に写されない場合は L(x,y)⊃Z:線分がS''(Z)が
> % 線分にならないとなる線分Zがある筈である。
> % しかし,これは(a)のsimilarlityは線分を線分に写すという事に反する)
>> すいません。このようなやり方しか思いつきませんでした。 どのようにすれば荒くなりませんでしょうか?
> 直線が直線に写されない場合, x, y を通る直線 L に
> 含まれる線分 Z で, S''(Z) が線分にならないものが
> 存在する, ことを証明して下さい.

もし存在しない仮定してみると,任意のLの線分Zに対して,S''(Z)もまた線分である。。。
これが直線である事はどうすれば言えますでしょうか?

>> これからA:=Σ_{i=1}^d a_i OH_i　なら S(A)=Σ_{i=1}^d a_i OS''(H_i) となるのですね。
> やはり, 理解しての記述とは思えません.

すいません。
「A:=Σ_{i=1}^d a_i OH_i　ならS''(A)=Σ_{i=1}^d a_i OS''(H_i) となるのですね」
でしょうか?

>> 射影の和も射影の和に写る事はどうすれば言えますでしょうか?
> 射影の和が射影の和に写ることを直接示す必要は
> ないのです.

そうでしたか。

> 正規直交基底の各単位ベクトル方向
> への射影が, 正規直交基底の像の正規直交基底の
> 各単位ベクトル方向への射影に写ることが分かれ
> ば, 既に見たように,
>  S''(Y) (= S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i))
>  = Σ_{i=1}^d a_i OS''(X_i)
> が成立します.

これは「Σ_{i=1}^d b_i S''(OX_i) =Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)の時 a_i = b_i」から言えるの
ですね。

>  このことから,
> OS''(X_j) = Σ_{i=1}^d p_{ij} OX_i  (1≦j≦d)
> なる p_{ij} を用いれば,
> Y = Σ_{j=1}^d a_j OX_j なる点は
> S''(Y) = Σ_{j=1}^d a_j OS''(X_j)
> = Σ_{j=1}^d a_j Σ_{i=1}^d p_{ij} OX_i
> = Σ_{i=1}^d (Σ_{j=1} p_{ij} a_j) OX_i
> なる点に写されているので,
> S'' は, 正規直交基底 OX_i についての
> 表現行列が (p_{ij}) であるような,

(p_{ij}a_i)ではなく(p_{ij})なのですか。

> 線形写像
> であることが分かります.

これは「f(v_j)=Σ_{j=1}^n a_ji x_jと表されるならfは線形写像」という命題から言えますね。

>> OS''(Y)=S''(OY)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i) = D_{1/r}○S'(Σ_{i=1}^d a_i
>> OX_i) = D_{1/r}○T_{-V}S(Σ_{i=1}^d a_i OX_i) から
>> =D_{1/r}○T_{-V}(Σ_{i=1}^d a_i S(OX_i)) はどうすれば言えますでしょうか?
> S ではそうならない( S(O) = V ≠ O )ので,

了解いたしました。

> S'' での話にしているわけです.

上記よりS''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)=Σ_{i=1}^d a_i OS''(X_i)でS''は線形写像という事は分かりました
ね。

>> ここを突破できたなら
> だからそこは突破しません. 回避します.

了解いたしました。

>> となり,晴れてS''が線形である事が言えると思います。
> S'' が線形であることがわかって初めて
> S が「アフィン写像」であることが分かります.

アフィン写像の定義は
「V_i,V'_jを線形写像,V:=V_1×V_2×…×V_m,V:=V'_1×V'_2×…×V'_nとする時,
fはV→V'のアフィン写像
⇔(def)
(i) fはV→V'の線形写像
(ii) f(v_1,v_2,…,v_m)=g(v_1,v_2,…,v_m)+a (但し,a∈V')なる線形写像g:V→V'が存在する」
ですから,そうですね。

>> OYもOS''(Y)も夫々の正規直交基底(長さ1の射影)の一次結合で表されていて,
>> S''は射影を射影に長さを変えずに写すから, 結局,{OX_1,OX_2,,OX_d},
>> {OS''(X_1),OS''(X_2),,OS''(X_d)}も同じ基底なのですね。
> 同じ基底ではないです.

{OX_1,OX_2,…,OX_d}≠{OS''(X_1),OS''(X_2),…,OS''(X_d)}なのですね。

>同じく正規直交基底ではあります.

とすると{OS''(X_1),OS''(X_2),…,OS''(X_d)}は{OX_1,OX_2,…,OX_d}を回転させたものと言えるのです
ね。

>> よって, OX_1=OS''(X_{i,1}),OX_2=OS''(X_{i,2}),,OX_d=OS''(X_{i,d})
>> となるようにOS''(X_1),OS''(X_2),,OS''(X_d)を並び変えれる。
> これは間違いです.

今,{OX_1,OX_2,…,OX_d}≠{OS''(X_1),OS''(X_2),…,OS''(X_d)}ですから,間違いですね。

>> OY-OS''(Y) =(a+b,a+b,,a+b) ・(t^(OX_1,OX_2,,OX_d)-t^(OS''(X_{i,1}),OS''(X_{i,
>> 2}),…,OS''X_{i,d}))) =(a+b,a+b,…,a+b) ・O (但し,ここのOは零行列) =O となり,OY=OS''(Y)が言えるのですね。
> これも無意味な式変形ですね.

これもそうですね。

>> ところで S''(aOA+bOB)=S''((a+b)Σ_{i=1}^d OX_i = (a+b)Σ_{i=1}^d OS''(X_i)
>> は成り立つのでしょうか?
> 何とも無意味な問ですね. どうも一次結合が分かっていない
> のではありませんか.

{OX_1,OX_2,…,OX_d}={OS''(X_1),OS''(X_2),…,OS''(X_d)}と思ってましたが
S''(aOA+bOB)=S''((a+b)Σ_{i=1}^d OX_i = (a+b)Σ_{i=1}^d OS''(X_i)が言えても
(a+b)Σ_{i=1}^d OS''(X_i)=aOS''(A)+bOS''(B)は簡単には言えませんね。

>> e_1:=t^(1,0,0),e_2:=t^(0,1,0),e_3:=t^(0,0,1)とします。
> そのように固定しては, 任意の直交変換が
> 簡単な形で表せないではありませんか.

それはそうですが
任意の直交変換fは基底を決めないと表しようがありませんよね。
任意の直交変換の基底はどのように決めればいいのでしょうか?

>> という3×3行列がR^3での回転を表すという意味です。
> だから -1 が全体に付くのでは, 回転にならないでしょう.

さようです。
 [[cosθ,-sinθ,0],
-[ sinθ, cosθ, 0],
  [  0,      0,   1]]
の行列式は-1になり,improperな回転になりますね。

>> という意味でしたが後者の行列式は-1になるので,回転ではなく,
>> improperな回転になりますね。 ,,,という事で
> 全然, 話がつながりませんが, それはさておき,

そうですか。すいません。

>> J_1:=E(:単位行列)の時,det(J_1)=1
>> J_2:= [[cosθ,-sinθ,0], [ sinθ, cosθ, 0], [  0,      0,   1]]  の時,det(J_2)=1
：
> できるか, を議論することとの間には遙かな隔たりが
> あります.

これは
「高次元の det = 1 の直交変換を回転とは普通呼びません.」
に由来する事ですね。
つまり,高次元では回転やimproperな回転の定義は無いのですね。
あるのは直交変換と行列式が1か-1になることぐらいなのですね。
それは4次元以上になると回転という動作を考える事が難しいならなのでしょうか?

>> det =1の直交行列はどれか奇数個の行を-1倍するか 2つの行の
>> 入れ替え奇数回入れ替えれば det = -1となりますよね。
> それは「ある行列が improper な回転の行列になる」
> というだけの話です.

improperな回転の定義はdet =-1となる直交行列を表現行列に持つ線形変換なのですね。

>より正確には det = -1 となる
> 直交行列であるというだけの話です.

はい。

>> そして,奇数回の行入れ替えや奇数回の行の-1倍は行列式の性質から 符号が逆転しますね。
> それはそうですが, それだけの話です.

そうですか。
det= -1の時がimproperな回転でdet=1の時が直交変換になるというだけですね。

>> 上記のような直交行列A=(a_ij)を表現行列とする線形写像をfとすると
>> R^d∋∀x:=(x_ij),y:=(y_ij)に対して,<f(x),f(y)>
> どうして x_ij とか y_ij とか添え字が二重になるのでしょう.
> ともあれ, 直交行列が直交変換を表すというだけですね.

あっと,そうでした。すいません。「x:=(x_i),y:=(y_i)」でした。

>> (∵Aは(cosθ,-sinθ)と(sinθ,cosθ)と1を対角成分に持ち
>> その他成分は0であるような行列に行の
>> 入れ替えか行を-1倍したもの) =<x,y) で内積が保存された
>> のでfは直交変換になるのですね。
> ですから, A がその形をしていれば, 直交行列ですが,
> 直交行列が直交変換を表すのはとっくに分かっている筈
> ではなかったのですか.

すいません。そうでした。
「そういったものが直交変換を表す行列の全体であることが示されていないところに」
は直交変換ならばその表現行列は直交行列を示さねばならないのですね。

> 何度も言いますが, 大事なのは, 正規直交基底を
> 標準基底 e_1, e_2, ... , e_d ではない, 別の
> 正規直交基底 p_1, p_2, ... , p_d に取り替える
> ことにより, 直交行列 A の表す直交変換の
> p_1, p_2, ... , p_d についての表現行列 C が
> R(θ_1), etc. を並べた形になる, 表現行列を
> 分かり易い形に取り直せる, ということです.
> なお,  P = (p_1 p_2 … p_d) という直交行列を使うと
> C = P^{-1} A P です.

これは大変参考になります。
直交行列AをPを使って,シンプルな直交行列Cで表せれるのですね。

>> 各行を入れ替えたり,各行を-1倍したものも直交変換の表現行列ですよね。
> だから, 直交行列は色々ありますが, それの表す
> 直交変換についてどう正規直交基底の取替えを行って,
> 分かり易いそれの表現行列として何を取るか,
> が問題になっているのです.

なるほど。分かってきました。

>> [[1,0,0,0,   0,       0], [0,0,-1,0,   0,      0 ], [0,0,0,1,    0,
>> 0 ], [0,1,0,0,    0,       0 ], [0,0,0,0,cos(x),-sin(x)],
>> [0,0,0,0,sin(x),cos(x)]] の形のものとか 単位行列は考えなくていいのでしょうか?
> 上の形ものは考えなくても良い, というのが肝心なのです.
> 単位行列は R(0) (と 1)を対角線に並べたものです.

Pなる行列を使って,R(θ_1), etc. を並べたシンプルな形にできるからなのですね。