ご回答大変有難うございます。

>> 何か不具合が生じておられるのですね。 こちらは特に不具合等は見受けられませんが。
> Google での表示で, 該当の記事の「詳細オプション」を
：
> 範囲にしか流通しません.

試してみましたがutf-8で
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/contribution.jpg
と文字化けしてしまいます。SJISコード等,他コードでも文字化けしてしまいます。

>> これは5つの公理系に合同の公理(?)を付け加えれば
>> 現代的な意味での公理系なるのですね。
> そういうわけではありません. 実際どうかは「幾何学基礎論」
> を御覧下さい.

調べてみたいと思います。

>> そうなのですが,,帰納法で示そうとしているのですが
> それは方針が悪い.

方針ですか。。

>> うーん,そうしますとどうやって,Σ_{i=1}^d b_i S''(OX_i)=Σ_{i=1}^d
>> b_iOS''(X_i) の変形はできますでしょうか?
> S'' は「線分を線分に写す」ことを既に知っていますから,
> 線分 OX_i は線分 S''(O)S''(X_i) に写ります. S''(O) = O
> だから S''(OX_i) = OS''(X_i) です.

あっ。そうでした。S''(O) = OだからS''(a_1X_1-a_1O)からa_1S''(X_1)-a_1S''(O)が言えますね。
よって,d=1の時,Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)が成り立つ。
続いて,d≧1の時,Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)が成り立つと仮定すると
d+1の時はΣ_{i=1}^{d+1} b_i OS''(X_i)
=Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)+b_{d+1} OS''(X_{d+1})
=S''(Σ_{i=1}^d b_i O(X_i)+b_{d+1} OS''(X_{d+1}) (∵帰納法の仮定)
=S''(Σ_{i=1}^d b_i O(X_i)+S''(b_{d+1} OX_{d+1})
(∵S''(b_{d+1} OX_{d+1})=S''(b_{d+1} X_{d+1}-b_{d+1}O)=S''(b_{d+1}X_{d
+1})-S''(b_{d+1}O)
=S''(b_{d+1}X_{d+1})-S''(O)=S''(b_{d+1}X_{d+1})-O=b_{d+1}S''(X_{d+1})-
O
(∵OH_i = a_i OX_i とすれば,|OH_i| = |OS''(H_i)|, etc., となることから,OS''(H_i) =
a_i OS''(X_i))
=b_{d+1}OS''(X))
よって,全てのdについてΣ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)が成り立つのですね。

>> えっ? S''はsimilarityではないのですか?
> 貴方は「 S'' が r が 1 でない similarity である」ことを
> 意味する式を書いたのですよ.

そうでしたか。すいません。混乱していたようです。

>> 「 S'' は, O を O に移す, ratio が 1 の similarity である
>> ということだけが分かります. そのことから,」 と仰ってますが。。
> 既に S'' は r = 1 の similarity であると示してあるのに,
> それと矛盾することを書いて平気でいるのが信じられません.

どうもすいません。

>> もし存在しない仮定してみると,任意のLの線分Zに
>> 対して, S''(Z)もまた線分である。。。
>>  これが直線である事はどうすれば言えますでしょうか?
> つまり, その部分の証明は思いついていなかったわけですか.
> 証明を飛ばしているので「荒い」と評価したのですが,
> そういう自分を誤魔化すような書き方はするべきではありません.

これもすいません。

> 直線 AB が直線 S''(A)S''(B) に写ることは, 例えば,
> 直線 AB 上の点 C が, 線分 AB の B の側への延長上にあるとき,
> S''(C) も線分 S''(A)S''(B) の S''(B) の側への延長上に
> あることを示せば良いわけですが, それは,
> |AC| = |AB| + |BC| から
> |S''(A)S''(C)| = |S''(A)S''(B)| + |S''(B)S''(C)|
> となっていて,

S''は線分を線分に写すからなのですね。
そしてこの等式は三点が同一直線上にある事を示していましたね。

> S''(B) が線分 S''(A)S''(C) 上にある
> ことから導かれます.

なるほど。これなら分かり易いですね。

>> すいません。 「A:=Σ_{i=1}^d a_i OH_i　ならS''(A)=Σ_{i=1}^d a_i
>> OS''(H_i) となるのですね」 でしょうか?
> 私が言ったのは, H を点 A の直線 OX への射影とすれば,
> S''(A) の OS''(X) への射影は S''(H) になる, です.

「S'' は「線分を線分に写す」ことを既に知っていますから,
線分 OX_i は線分 S''(O)S''(X_i) に写ります. S''(O) = O
だから S''(OX_i) = OS''(X_i) です.」
からそう言えますね。

> A の各 OX_i への射影を H_i とすれば, S''(A) の
> OS''(X_i) への射影は S''(H_i) となります.
> OX_i らが正規直交基底をなすことから,
> OA = Σ_{i=1}^d OH_i,
> OS''(X_i) らも正規直交基底をなすことから,
> OS''(A) = Σ_{i=1}^d OS''(H_i) です.

そうですね。

> ここで, OH_i = a_i OX_i とすれば,
> |OH_i| = |OS''(H_i)|, etc., となることから,

これもそうですね。

> OS''(H_i) = a_i OS''(X_i) と, 同じ係数 a_i
> を用いて表されることが分かります. これから,

 「S''は射影を射影に写す」から同じ係数a_iで表されるのですよね。

> OA = Σ_{i=1}^d a_i OX_i のとき,
> OS''(A) = Σ_{i=1}^d a_i OS''(X_i) が
> 導かれます.

有難うございます。納得です。

>> これは「Σ_{i=1}^d b_i S''(OX_i) =Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i)の時 a_i =
>>  b_i」から言えるのですね。
> 意味不明です. 言える理由は上の通りです.

すいません。勘違いしておりました。

>> (p_{ij}a_i)ではなく(p_{ij})なのですか。
> 当然でしょう. 「表現行列」を知っていますか?

はい。すいません。
OS''(X_j) = Σ_{i=1}^d p_{ij} OX_i  (1≦j≦d)ですから
基底{OX_1,OX_2,…,OX_d}についての表現行列は(p_{ij})でしたね。

>> それはそうですが 任意の直交変換fは基底を決めないと表しようがありませんよね。
>>  任意の直交変換の基底はどのように決めればいいのでしょうか?
> 直交変換と言うのは, 内積を持つベクトル空間について
> 定まる概念で,

そうですね。直交変換の定義は内積を保存する事ですからね。

>  基底には依らない概念です. 任意の正規
> 直交基底を固定しておけば, それについての表現行列が
> 直交行列であると言うことでも確かめられます. だから,
> 最初は標準基底を取っておいても良いのです.

ああ,納得です。

>  しかし,
> それの標準形を求めようと思えば,

det = 1 の場合,  R(θ_1), R(θ_2), ... , R(θ_m) (と 1)を対角線に並べた行列
det = -1 の場合,
 R(θ_1), R(θ_2), ... , R(θ_{m-1}), 1, -1  (n = 2m), 又は,
 R(θ_1), R(θ_2), ... , R(θ_m), -1  (n = 2m+1) を
対角線に並べた行列
が標準形でしたね。

> つまり, それを簡単
> な形で表そうと思えば, 基底は取り直すことになります.

なるほど。これは参考になります。

>> これは 「高次元の det = 1 の直交変換を回転とは
>> 普通呼びません.」 に由来する事ですね。
：
> 表現できる, ということの意味を, 貴方は理解できて
> いなかったではありませんか.

すいません。

>> つまり,高次元では回転やimproperな回転の定義は無いのですね。
>> あるのは直交変換と行列式が1か-1になることぐらいなのですね。
>> それは4次元以上になると回転という動作を考える事が難し
>> いならなのでしょうか?
> R(θ_1), R(θ_2) etc. のように「回転角」がいくつも
> あるようなものを単純に「回転」と呼ぶのは, 誤解を招く
> 恐れがあるでしょう,

ああ、漸く分かりました。確かにこのように角度が複数あると何とも言えませんね。
喩えR(θ),R(θ),etcと角度が一種類しか無い場合でも短絡的に回転とは言えないのですね。