ご回答大変ありがとうございます。

>> ∞は集合で(∞, ∞, ... , ∞)はd組の対集合ですから 必ずしも点を表している
>>とは限らないのですが…。 誤解してますでしょか?
> R の中には ∞ はありません. 拡大数直線 \overline{R}
> の中にあるのは -∞ と ∞ ですが, それもこの際関係ありません.

そうですか。これは興味深いです。
「y=(y_1,∞,∞,…,∞)の場合は」
↓
「y∈R^+×{∞}の場合は」
と書けばいいのでしょうか?


> S^{d-1} は R^{d-1} の一点コンパクト化であり,
> 付け加えられる点を ∞ で表しているのです.
> 「点」でないと意味がありません.

一点コンパクトを調べてみました。
Hausdorff空間Xに一点∞を付け加えたものX_∞とし
(1) Xの開集合はX_∞の開集合と定義する
(2) Xにおけるコンパクト集合Kの補集合X＼Kに∞を付け加えた集合はX_∞の開集合と定義する。
この時,X_∞はコンパクトHausdorff空間となる。
この時,XとX_∞の位相は一致する。

ですね。

>> (∞,∞,…,∞)⊂(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×Π_{i=2}^d (δ,∞)とはならないので
>> {∞}を付け足さないとだめだという事ですね。
> それだけではありません. (δ, ∞) という無限開区間の直積では
> S^{d-1} の ∞ の開近傍と R^{d-1} の交わりにもならない.

S^{d-1} の ∞ の開近傍とはS^{d-1}の開近傍に∞を付け加えたものでしょうか。

>> { x ∈ R^{d-1} | Σ_{i=2}^d |x_i| > δ } ⊂{ x ∈ R^{d-1} | x_i> δ
>> (i=2,3, …,d)}ですよね。
> 違います. (0, ... , 0, -2δ) は, 前者には入りますが,
> 後者には入りません.

そうでした。ご指摘ありがうございます。

>> ちょっと訂正して nbhd(y,δ):=(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×Π_{i=2}^d
>> (δ,∞] という定義でもいいでしょうか?
> 駄目です.

nbhd(y,δ):=(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×(Π_{i=2}^d (δ,∞))∪{∞} でも駄目ですかね。
どうして,
{ x ∈ R^{d-1} | Σ_{i=2}^d |x_i| > δ } ∪ {∞} じゃないといけないのでしょうか?