ご回答大変ありがとうございます。


>> 開矩形でなく開球で考えております。
> 最初の問題は,
> と, 積空間 R_+×S^{d-1} の「開矩形」の可算和で書けることを示せ,
> というものでした.

これは大変失礼いたしました。

訂正させていただきたいと思います。

正の有理数列
r'_1=1,r'_2=1/2,r'_3=2,r'_4=1/3,r'_5=3,r'_6=1/4,r'_7=2/3,r'_8=3/2,r'_9=4,
…
：
これの作業を繰り返していくと,R^+×R^{d-1}内の有理点を漏れなく網羅する事ができる。
そして{x'_1,x'_2,…}の中からψ(E)に含まれるものを添数が若い順からx_1,x_2,…とラベリングし直す.
U_{m,n}:=nbhd(x_m,r_n):=[max{0,x_{m,1}-r_n]×Π_{i=2}^d[x_{m,i}-r_n,x_
{m,i}+r_n]
(但し,x_m:=(x_{m,1}×{m,2}×…x_{m,d}))
と置き(最右辺は立方体形近傍を表しています)
{U∈{U_{m,n};m,n∈N},U⊂ψ(E)}で添数の組(m,n)が若いものからV_1,V_2,…
らラベリングしていけば∪_{i=1}^∞ V_i⊃ψ(E)となる。

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/nbhd_cube_20090307.jpg

これでいかがでしょうか?