工繊大の塚本です.

In article <6341f9db-3160-4d77-85e0-9e4460329abf@g38g2000yqd.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ∞は集合で(∞, ∞, ... , ∞)はd組の対集合ですから
> 必ずしも点を表しているとは限らないのですが…。
> 誤解してますでしょか?

 R の中には ∞ はありません. 拡大数直線 \overline{R}
の中にあるのは -∞ と ∞ ですが, それもこの際関係ありません.

 S^{d-1} は R^{d-1} の一点コンパクト化であり,
付け加えられる点を ∞ で表しているのです.
「点」でないと意味がありません.

> (∞,∞,…,∞)⊂(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×Π_{i=2}^d (δ,∞)とはならないので
> {∞}を付け足さないとだめだという事ですね。

それだけではありません. (δ, ∞) という無限開区間の直積では
 S^{d-1} の ∞ の開近傍と R^{d-1} の交わりにもならない.

> { x ∈ R^{d-1} | Σ_{i=2}^d |x_i| > δ }
> ⊂{ x ∈ R^{d-1} | x_i> δ (i=2,3, …,d)}ですよね。

違います. (0, ... , 0, -2δ) は, 前者には入りますが,
後者には入りません.

> ちょっと訂正して
> nbhd(y,δ):=(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×Π_{i=2}^d (δ,∞]
> という定義でもいいでしょうか?

駄目です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp