工繊大の塚本です.

In article <f5932a91-29ea-42a3-98b1-f7756d756c85@v15g2000yqn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 「y=(y_1,∞,∞,…,∞)の場合は」
> ↓
> 「y∈R^+×{∞}の場合は」
> と書けばいいのでしょうか?

そうです.
 
> 一点コンパクトを調べてみました。
> Hausdorff空間Xに一点∞を付け加えたものX_∞とし
> (1) Xの開集合はX_∞の開集合と定義する
> (2) Xにおけるコンパクト集合Kの補集合X＼Kに∞を付け加えた集合は
> X_∞の開集合と定義する。
> この時,X_∞はコンパクトHausdorff空間となる。
> この時,XとX_∞の位相は一致する。

 X の元の位相と, X_∞ の部分空間としての X の位相は
一致します.

> S^{d-1} の ∞ の開近傍とはS^{d-1}の開近傍に∞を付け加えたものでしょうか。

上に書いてあるではありませんか.
 R^{d-1} のコンパクト集合の補集合に ∞ を
付け加えたものです. 勿論, コンパクト集合は
閉集合ですから, その補集合は開集合ですが,
開集合なら良いというものではありません.

> nbhd(y,δ):=(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×(Π_{i=2}^d (δ,∞))∪{∞}
> でも駄目ですかね。

駄目です.

> どうして,
> { x ∈ R^{d-1} | Σ_{i=2}^d |x_i| > δ } ∪ {∞} じゃないと
> いけないのでしょうか?

 { x ∈ R^{d-1} | Σ_{i=2}^d |x_i| ≦ δ } は有界閉集合で
コンパクト集合ですから, その補集合に ∞ を付け加えるわけ
です. 定義通りですね. 勿論, コンパクト集合の補集合なら
良いので, 他にも取り方はあります.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp