ご回答大変有難うございます。

>> |F(x) - F(y)|≦(3/2)^n |x - y| + 2/2^nの不等式は
>> 任意のn,任意のx,y∈[0,1]について,成り立つのですよね。
> そうです.

つまり,∀n∈Nと∀x,y∈[0,1]に対して(3/2)^n |x - y| + 2/2^nが5|x-y|^γで抑えられるのですよね。
もし,x-y=1なら,5|x-y|^γ=5で,n=4の時 (3/2)^n |x - y| + 2/2^n=5.1875となって,
(3/2)^n |x - y| + 2/2^n≧5|x-y|^γとなってしまいますが。。

>> ,,なのに, 「|x - y| ≠ 0 なら, n を 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 となるように取れる.」
>> とここではnを任意のものとしてない所がいまいち分からないのです。
> |F(x) - F(y)| ≦ M |x - y|^γ としたいなら,
> n の入らない式にする必要があるのです.
> |x - y| に応じて決まる n を使わないことには,
> n と |x - y| の入った式 (3/2)^n |x - y| + 2/2^n
> から n が追い出せないではありませんか.

 |F(x) - F(y)| ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n
ここまでは∀n∈Nと∀x,y∈[0,1]で
= (3^n |x - y| + 2)/2^n
ここはもはや∀n∈Nと∀x,y∈[0,1]ではなくなっているのですよね?
どうしてここで∀n∈N,∀x,y∈[0,1]から特定のx,yに対する特定のnに摩り替えれるのでしょうか?

分かりやすいように記号を別にしてもいいいのでしょうか?
「元々 0 ≦ |x - y| ≦ 1 ですから, |x - y| ≠ 0 なら,
 m∈を 1 < 3^m |x - y| ≦ 3 となるように取れる. 」
「 |F(x) - F(y)|
  ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n
  = (3^m|x - y| + 2)/2^n 」
という具合に。でもこれだと
(3/2)^n |x - y| + 2/2^n =(3^m|x - y| + 2)/2^n
が言えなくなってしまいますよね。