ご回答大変有難うございます。

> [0, 1] を 1/3^n の幅の 3^n 個の区間 [x, x + 1/3^n] に
> 分けるとき, x = x_1/3 + x_2/3^2 + x_3/3^3 + … + x_n/3^n,
：
> 本来はこういった記述から, |F(x) - F_n(x)| ≦ 1/2^n も
> 導かねばなりません. 先に |F_n(x) - F_{n+1}(x)| ≦ 1/2^{n+1}
> を示すのかな.

なかなか難しいんですね。

>> |F(x)-F(y)|≦(3/2)^n|x-y|+2/2^nまで分かりましたが, 『xとyを固定してしまうと(3/2)^n|x-y|と
>> 2/2^nとが 同位数持つようnを選んで右辺を小さくする』 ここは(3/2)^n|x-y|=2/2^nとな
>> るnが選べるといっているのでね。
> n は自然数ですから, 正確に等号が成立するようには
> 出来ません.

そうでしたか。

>  (3/2)^n |x - y| + 2/2^n = (3^n |x - y| + 2)/2^n
> で, 元々 0 ≦ |x - y| ≦ 1 ですから, |x - y| ≠ 0 なら,
> n を 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 となるように取れる.

それは1/3<|x-y|≦1ならn=0,1/3^2<|x-y|≦1/3ならn=1と採れますね。

>> 『これは1≦3^n|x-y|≦3なるようにnを採ればよい』
>> lon_3(1/|x-y|)≦n≦lon_3(3/|x-y|)と採ればいいのですね。
> |x - y| に 3 を何回も掛けていって, 1 を超えた
> ところで止めれば良い.

止めれば良いとしてもxとyは任意でxとyを幾らでも狭めればそれに伴ってnもどんどん大きく採らないといけませんよね。
今,|F(x)-F(y)|<M|x-y|^γを示したので,xとyの採りようによって,Mの値を変えなければならないのならMは最早,定数ではありま
せんよね。

> 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 としましたから,
>  |F(x) - F(y)|
>  ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n
>  = (3^n |x - y| + 2)/2^n
>  ≦ (3 + 2)/2^n

ここは任意のnに対して常に1 < 3^n |x - y| ≦ 3が成り立てば納得できますが。。。

>  = 5/3^{γn}
>  = 5 |x - y|^γ/(3^n |x - y|)^γ
>  < 5 |x - y|^γ

ここも(3^n |x - y|)^γのnの値が幾らでも,x-yが十分小さければ1≧3^n|x-y|^γとなってしまうのではないでしょうか?


>ここから先は Theorem 2.1 の証明の続きです.

Theorem2.1は下記のように証明できました。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/theorem2_1.jpg