工繊大の塚本と申します.

In article <703b9fb6-41c5-4b2b-bfd9-cb8b4e44cc00@z9g2000yqi.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Lemma2_3_first.jpg
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Lemma2_3_second.jpg
> Lemma2.3 The Canto-Lebesgue function F on C satisfies a Lipschitz
> condition with exponent γ=ln2/ln3.
> 
> について質問です。
> 
> Lipschitz条件の定義は「fがE⊂Rで指数γのLipschitz条件を満たす
> ⇔(def)
> |f(x)-f(y)|≦M|x-y|^γなる0<M∈Rが存在する」
> です。

 x, y は当然 E から取るわけです.

> (証)
> まずCantor-Lebesgue関数は
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Canto_Lebesgue_function.jpg
> となると思います。

そういう図では分からないですよ.

> グラフからnステップ目での各所の傾き|F_n(x)-F_n(y)|/|x-y|は

 n ステップ目とは何でしょう. F_n をきちんと述べている
ところがあるようですね. それを書いておくのが良いです.

> 高々(3/2)^nなので|F_n(x)-F_n(y)|≦(3/2)^n|x-y|…【1】
> と書ける事は分かりますが
> |F(x)-F_n(y)|≦(1/2)^n…【2】
> が言えるのは何故なのでしょうか?

そんなことが書いてありますか? 書いてあるのは

  |F(x) - F_n(x)| ≦ 1/2^n

でしょう.

> あとは 【1】,【2】からLemma2.8
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Lemma2_8.jpg
> が使えて(A:=2/3,B:=2と採ればよい)
> |F(x)-F(y)|≦M|x-y|^γ,γ=ln2/ln3で終わりだと思います。

 Lemma 2.3 は Lemma 2.8 より前にあるわけで, その証明も
別に書いてあるではないですか. そして, その証明における
議論が Lemma 2.8 でも繰り返されるとわざわざ注意も書いて
あるではありませんか. そして, Lemma 2.8 での条件は

  |f_j(t) - f_{j+1}(t)| ≦ B^{-j}  for some B > 1

ですから, |F_n(x) - F_{n+1}(x)| がどうなっているか
示さないと使えないではないですか. ま, 証明まで見れば
使えるでしょうが, それは要するに Lemma 2.3 の証明を
読むのと同じです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp