いつも大変お世話になっております。
プリント配布からの問題です。

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Lemma2_3_first.jpg
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Lemma2_3_second.jpg
Lemma2.3 The Canto-Lebesgue function F on C satisfies a Lipschitz
condition with exponent γ=ln2/ln3.

について質問です。

Lipschitz条件の定義は「fがE⊂Rで指数γのLipschitz条件を満たす
⇔(def)
|f(x)-f(y)|≦M|x-y|^γなる0<M∈Rが存在する」
です。

(証)
まずCantor-Lebesgue関数は
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Canto_Lebesgue_function.jpg
となると思います。
グラフからnステップ目での各所の傾き|F_n(x)-F_n(y)|/|x-y|は高々(3/2)^nなので|F_n(x)-F_n(y)|≦
(3/2)^n|x-y|…【1】と書ける事は分かりますが
|F(x)-F_n(y)|≦(1/2)^n…【2】が言えるのは何故なのでしょうか?
x=1,y=0と採れば,F(1)=1とF_n(0)=0だから|F(x)-F_n(y)|=1となり,(1/2)^nで抑えられないと思うのです
が…。

あとは 【1】,【2】からLemma2.8
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Lemma2_8.jpg
が使えて(A:=2/3,B:=2と採ればよい)
|F(x)-F(y)|≦M|x-y|^γ,γ=ln2/ln3で終わりだと思います。


吉田京子