工繊大の塚本です.

In article <e1a4d041-b413-4f33-93b2-d3f7f2ef7027@r33g2000yqn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p127_003.jpg
> がありましたが.nステップ目のF_n(x)は具体的にどう書けるの分かりませんでした。

 [0, 1] を 1/3^n の幅の 3^n 個の区間 [x, x + 1/3^n] に
分けるとき, x = x_1/3 + x_2/3^2 + x_3/3^3 + … + x_n/3^n,
 x_i ∈ { 0, 1, 2 } と3進小数展開しておいて, x_i = 1 と
なる i の最小 k が存在すれば, 1 ≦ i < k なる i について,
 y_i = 0  (if x_i = 0), y_i = 1  (if x_i = 2) として,
 F_n(z) = y_1/2 + y_2/2^2 + … + y_{k-1}/2^{k-1} + 1/2^k 
 for z ∈ [x, x + 1/3^n] とし,
 x_1, x_2, ... , x_n ∈ { 0, 2 } ならば, 1 ≦ i ≦ n なる
 i について y_i = 0  (if x_i = 0), y_i = 1  (if x_i = 2) として,
 F_n(z) = y_1/2 + … + y_n/2^n + (3/2)^n (z - x) 
 for z ∈ [x, x + 1/3^n] と定めるわけです.

本来はこういった記述から, |F(x) - F_n(x)| ≦ 1/2^n も
導かねばなりません. 先に |F_n(x) - F_{n+1}(x)| ≦ 1/2^{n+1}
を示すのかな.

> |F(x)-F(y)|≦(3/2)^n|x-y|+2/2^nまで分かりましたが,
> 『xとyを固定してしまうと(3/2)^n|x-y|と2/2^nとが
> 同位数持つようnを選んで右辺を小さくする』
> ここは(3/2)^n|x-y|=2/2^nとなるnが選べるといっているのでね。

 n は自然数ですから, 正確に等号が成立するようには
出来ません.

  (3/2)^n |x - y| + 2/2^n = (3^n |x - y| + 2)/2^n

で, 元々 0 ≦ |x - y| ≦ 1 ですから, |x - y| ≠ 0 なら,
 n を 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 となるように取れる.

> 『これは1≦3^n|x-y|≦3なるようにnを採ればよい』
> lon_3(1/|x-y|)≦n≦lon_3(3/|x-y|)と採ればいいのですね。

 |x - y| に 3 を何回も掛けていって, 1 を超えた
ところで止めれば良い.

> 『その時,3^γ=2で3^-n≦|x-y|なので|F(x)-F(y)|≦c2^-n=c(3^-n)^γ≦M|x-y|^γ』
> ここがよく分からないのですがcは何なのでしょうか?

 c は具体的には 5 とすれば良い.

> どうして3^γ=2が言えるのでしょうか?

それは γ の定義です. 3^γ = 2 が成立する γ は
実は γ = log 2/log 3 となります.

> あと,3^-n≦|x-y|は「1≦3^n|x-y|」から言えますね。
> c2^-n=c(3^-n)^γも「3^γ=2」からわかります。
> c(3^-n)^γ≦M|x-y|^γはこのような0<Mが取れるという意味でしょうか?

 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 としましたから,

  |F(x) - F(y)|
  ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n
  = (3^n |x - y| + 2)/2^n
  ≦ (3 + 2)/2^n
  = 5/3^{γn}
  = 5 |x - y|^γ/(3^n |x - y|)^γ
  < 5 |x - y|^γ

です. M = 5 としてそうなります. Lemma 2.3 の証明は
これでお仕舞いです.

> 『E=CとすればfはCantor-Lebesgue関数。
> α=γ=ln2/ln3と2つのLemmaよりm_1([0,1])≦M^βm_α(C).』
> γ=ln2/ln3となる事は「3^γ=2」から分かります。それでα=γ=ln2/ln3と採れば,
> Lemma2.2よりE:=Cでf(C)=[0,1],β=1と見做せるので
> m_1([0,1])≦M^βm_α(C).と書ける。
> 0<Mで0<m_1([0,1])(∵Hausdorff測度の定義)だから0<m_α(C)。
> それでこれからいきなりdimC=ln2/ln3が言えるのは何故でしょうか?

ここから先は Theorem 2.1 の証明の続きです. Theorem 2.1 の
証明では, α = log 2/log 3 について, m_α(C) ≦ 1 を
先に注意しています. m_α(C) は有限で零でない値を取るので,
 α が C の Haudorff 次元です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp