ご回答大変ありがとうございます。

> だから, Im E_j の正規直交基底をそれぞれ取って,
> それらをあわせたものを v_1, v_2, ... , v_n と
> するとき, それらが V の正規直交基底となることを
> 示しておくことになります.

これは(ImE_j=)E_jVはVの線形部分空間なのでE_jV≠{0}ならE_jVは基底を持ち,
それを{v'_{j_1},v'_{j_2},…,v'_{j_{m_j}}とし,Gram-Schmidt直交化法で正規直交化したものを
B_j:={v_{j_1},v_{j_2},…,v_{j_{m_j}}する。
この時,V=span(B_1∪B_2∪…∪B_r)と書け,v_{j_1},v_{j_2},…,v_{j_{m_j}は一次独立で
∀i≠jならv_{i_1},v_{i_2},…,v_{i_{m_i},v_{j_1},v_{j_2},…,v_{j_{m_j}も一次独立
(∵B_iの各元はB_jの各元に直交している(∵E_jの定義))
v_{1_1},v_{1_2},…,v_{1_{m_1},
v_{2_1},v_{2_2},…,v_{2_{m_2},
…
v_{r_1},v_{r_2},…,v_{r_{m_r}}
も一次独立となる。従って,v_{1_1},v_{1_2},…,v_{r_{m_r}}はVの正規直交基底となる。

という証明でいいのですよね。

>> ： 後者の場合だとE_j∩E_k={0}という事に反しますね。」 という証明ではだめでしょうか?
> そういったことを, E_j らの満たす関係式から示すことになります.

つまり,E_j^2=E_j,(E_j)^*=E_jだけから,
「Im E_j の正規直交基底をそれぞれ取って,
：
それらが V の正規直交基底となることを」
が示せるのでしょうか?

>> λが線形写像Aの固有値 ⇔(def) {A]x=λx (但し,x≠0) ⇔ det([A]-λI)=0
>> が固有値の定義で 今,表現行列[A]がα_1,α_2,…,α_rの対角行列で表せれましたので
>> これらα_1,α_2,…,α_rが全固有値になると思うのですが,,, 勘違いしてますでしょうか?
> それはそれで結構です.

ありがとうございます。