工繊大の塚本です.

In article <3fe0a031-79c4-4c91-b7b8-54b092558b46@l5g2000pra.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> E^*=Eはorthogonalityを言うために必要ですね。
> でも∀v∈Vに対して,v=s+s^⊥の時,Ev=E(s+s^⊥)=sと定義しただけでは
> Eはむprojectionかどうかは分からないのでしょうか?

 V の直和分解 V = S + S^⊥ を前提とするのでは,
線形変換 E だけでの orthogonal projection の
特徴付けになりません.

> E^2=Eという条件がどうしても必要になるのでしょうか?

 E^* = E, E^2 = E であることから, Im E = S とするとき,
 Im (I - E) = S^⊥, V = S + S^⊥ となり,
 E が orthogonal projection となることが導かれます.

> ((a,b),(c,d)):=ad+bcの時, ((a,b),(a,b))=ab+ba=2abは正になるとは限りませんね。

これは正定値でないという話で良いですが,

> また,((a,b),(c,d))=0ならばad+bc=0で(a,b)=(c,d)になるとは限りませんね。
> 更に,(a,b)=(c,d)の時,((a,b),(c,d))=ac+bd=0になるとも限りませんね。

この二つは意味のない話です.

> 確かに補空間「VをF線形空間とし,SをVの線形部分空間とすると,
> S':=(V＼S)∪{0}もVの線形部分空間となる。

そんなものは線形部分空間にはなりません.

> このS'をSの補空間と呼ぶ」
> にはなってませんね。

補空間の定義が間違っています.
 V の線形部分空間 S に対し, V の線形部分空間 T が
 S の補空間であるとは, V = S + T, S ∩ T = {0} と
なることです.

> >  adjoint operator と可換になる operator のことです.
> 
> Aをadjoint operator,f:V→Vを線形写像とするとAf=fAとなる時,
> fをnomal operatorと呼ぶのですね。

 A は「何の」adjoint operator なのですか.

線形変換 A: V → V が normal であるとは.
 A の adjoint operator A^*: V → V について,
 A A^* = A^* A となることです.

> これは可換になるoperatorをadjoint operatorに限定してしまってますね。

無意味な言明ですね.

> 一番肝心な所ですね。Av=αvなる0≠v∈Vとα∈Rが存在したなら
> α∈{α_1,α_2,…,α_r}になる事は分かりましたが,
> 逆にα∈{α_1,α_2,…,α_r}ならAv=αvなる0≠v∈V画存在する事は
> どうすれば言えますでしょうか?

それは先に, s_j ∈ S_j = Im E_j については
 A s_j = α_j s_j となることを示すように申し上げて,
それを実行されたのではなかったですか.
なお, E_j ≠ 0 は仮定されています.

> > なお, Σ_{j=1}^r (α - α_j) s_j = 0 から,
> > 各 i について (α - α_i) s_i = 0 である,
> 
> これはなぜ言えるのでしょうか?
> s_1,s_2,…,s_rは一次独立とは限りませんよね。
> Σ_{j=1}^r s_j=v≠0より,少なくとも0でないs_jがあるから
> s_1,s_2,…,s_rは一次従属ですよね。

だから, そういう疑問が出ないように,

> > ということを示すのにも E_i E_j = 0  (i≠j) は使われます.

と書いておいたのですが. s_j = E_j s_j,
 E_i E_j = δ_{ij} E_i E_j  (δ_{ij} は Kronecker の記号)
に注意すれば,

  0 = E_i(Σ_{j=1}^r (α - α_j) s_j)
    = Σ_{j=1}^r (α - α_j) E_i s_j
    = Σ_{j=1}^r (α - α_j) E_i E_j s_j
    = Σ_{j=1}^r (α - α_j) δ_{ij} E_i E_j s_j
    = (α - α_i) E_i^2 s_i
    = (α - α_i) s_i

より明らかです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp