ご回答大変ありがとうございます。

>> 表現行列は不要とのことでしたが
>> Vの基底{v_1,v_2,…,v_n}を, E_jVの正規基底を{v_{i,1},v_{i,2},…,v_{i,j_i}
>> (1≦i≦r, 1≦i_j) となるように採ると, ∀v∈Vに対して,v=c_1v_1+c_2v_2+…+c_rv_rと表せる。
> そういう正規直交基底が取れることを認めれば,

やはりこれは証明が要るのでしょうか?
{v_1,v_2,…,v_n}を正規直交基底とするとこれらの幾つかはE_1に含まれ,幾つかはE_2に含まれますよね。
或るv_iはどのE_jの像にも含まれないとか或るv_iはE_jの像にもE_kの像にも含まれるとかいう事は起こりませんよね。
前者の場合だと(Σ_{j=1}^rE_j)(v_i)=id(v_i)に対して矛盾となりますね。
後者の場合だとE_j∩E_k={0}という事に反しますね。

>> Aの基底[v_1,v_2,…,v_r]による表現行列[A]は
>> [A]= [[α_1,0,　　　　…　　　　,0], [0,α_1,0,　　　…　　　　,0] ：
>> [0,0,…,0,α_1,0,　…　　,0], [0,0,…,0,　0,α_2,0,…,0], ： [0,0,…,0,　0,
>> 0, α_2,0,…,0], ： ： [0,0,…,0,　0,0,α_r,0,…,0],
> 最後の行は [ 0, ... , 0, α_r]] で終わるべきです.

そうでしたね。α_1の連なる個数,α_2の連なる個数,…,α_rの連なる個数の合計がΣ_{i=1}^r dimE_iになりますね。

>> (但し,I_{i_1}はi_1次の単位行列)
> I_{i_1} は使ってませんね.

すいません。忘れておりました。d_i:=dimE_iとすると
(α_1I_{d_1},　　O　)
(O,α_2I_{d_2},　O　_)
(O,O,α_3I_{d_3},O　)
：
(O,O,…,O,α_rI_{d_r})
と書きたかったのでした。

>> という風にα_1がj_1個,α_2がj_2個,α_rがj_r個右下斜めに連なるように書ける。
>>  従って,固有値の定義から det([A]-λI)=0 (但し,Iは単位行列)とすると
>> λ=α_1(重複度j_1),α_2(重複度j_2),…,α_r(重複度j_r)なり,
>> α_1,α_2,…,α_rがAの固有値になっている事が分かる。
> α_i の det([A] - λI) = 0 の解としての代数的な重複度と
> それに属する固有空間の次元とが一致することは別に示す必要
> があるでしょう.

「よって,Av_k=α_iv_k (但し,{i,1}≦k≦{i,j_i})(∵∀i≠jなら<E_i,E_j>=0)
：」

で本命題を示したつもりですがどうして固有空間の次元の証明が必要になるのでしょうか?

>> しかも固有値の定義 ([A]をAの表現行列とする時,det[A]-λI)=0の
>> λの解がAの固有値) からこれがAの全固有値である事も分かる。
>> という風にして証明してみたのですがこれでは駄目でしょうか?
> 上の注意を除いてはそれでも結構ですが,

α_1,α_2,…,α_rがAの全固有値である事を示す為に
重複度と固有空間の次元が等しくなる事を示さねばならないのですね。

Aの表現行列が
(α_1I_{d_1},　　O　)
(O,α_2I_{d_2},　O　_)
(O,O,α_3I_{d_3},O　)
：
(O,O,…,O,α_rI_{d_r})
と表される事と固有値の定義だけからα_1,α_2,…,α_rがAの全固有値である
とは言えないのでしょうか?

> 基底や表現行列を使わない考え方にも
> 慣れておかれた方が良いでしょう.

ありがとうございます。了解いたしました。