ご回答大変ありがとうございます。

>> やはりこれは証明が要るのでしょうか?
> それは立場によります. text の記述は, E_j らが,
> (E_j)^* = E_j, (E_j)^2 = E_j, E_i E_j = 0 (i≠j),
> Σ_{j=1}^r E_j = I を満たす, というところから
> 出発することを求めているように思いました.

そうですか。私の新たなやり方では証明が必要なのでね。
「{v_1,v_2,…,v_n}を正規直交基底とするとこれらの幾つかはE_1に含まれ,
幾つかはE_2に含まれますよね。
：
後者の場合だとE_j∩E_k={0}という事に反しますね。」
という証明ではだめでしょうか?

>> 「よって,Av_k=α_iv_k (但し,{i,1}≦k≦{i,j_i})(∵∀i≠jなら<E_i,E_j>=0)
>>  ：」
>> で本命題を示したつもりですが どうして固有空間の
>> 次元の証明が必要になるのでしょうか?
> むしろそれだけ書いておけば良い.

固有空間の次元が代数的重複度に等しくなる事だけですね。

> det([A] - λI) の計算は α_i 以外に固有値がないことの
> 証明にはなりますか.

λが線形写像Aの固有値
⇔(def)
{A]x=λx (但し,x≠0)
⇔
det([A]-λI)=0

が固有値の定義で今,表現行列[A]がα_1,α_2,…,α_rの対角行列で表せれましたのでこれらα_1,α_2,…,α_rが全固有値になると思
うのですが,,,勘違いしてますでしょうか?

> ところで, <E_i, E_j> = 0 とは何ですか.

すいません。E_iE_j=0の意味でした。失礼いたしました。

> # {i,1}≦k≦{i,j_i} というのも「他人には伝わらない」
> # 記法です.

これもすいません。Σ_{i=0}^j dimE_j+1≦k≦Σ_{i=0}^j dimE_{i+1} (j=1,2,…,r) (但
し,dimE_0=:0)の時,
Av_k=α_iv_k と書きたかったのでした。
これなら 1≦k≦dimE_1の時,Av_k=α_iv_k,
dimE_1+1≦k≦dimE_2+1の時,Av_k=α_2v_kとなりますね。

>> Aの表現行列が (α_1I_{d_1},　　O　) (O,α_2I_{d_2},　O　_)
>> (O,O,α_3I_{d_3},O　) ： (O,O,…,O,α_rI_{d_r}) と表される事と固有値の定義だけ
>> からα_1,α_2,…,α_rがAの全固有値である とは言えないのでしょうか?
> 勿論, 言えます.

了解いたしました。