ありがとうございます。

また，いい加減なことかいていてすみませんでした。

TC> # という状況もどこかであったな.

というと，はじめから


   Δy＝f(x＋Δx)−f(x)＝f'(x)・Δx＋B(x)/2・(Δx)^2＋ξ(x,Δx)・(Δx)^2 ………(*)

   （Δx→0 のときξ(x,Δx)→0）が成立するとき 

   f''(x):＝B(x)。


と定義しておけば，

Tsukamoto Chiaki さんの

>   Δ(Δy) = (f((x + Δx) + Δx) - f(x + Δx)) - (f(x + Δx) - f(x))
>           = f(x + 2 Δx) - 2 f(x + Δx) + f(x)

と(*)より，
            
    Δ(Δy)＝f(x)＋f'(x)・2Δx＋B(x)/2・(2Δx)^2＋ξ(x,2Δx)・(2Δx)^2
              −2{f(x)＋f'(x)・Δx＋B(x)/2・(Δx)^2＋ξ(x,Δx)・(Δx)^2}
               ＋f(x)
           ＝B(x)・(Δx)^2＋{ξ(x,2Δx)−2ξ(x,Δx)}・(Δx)^2

    で，d^2y:＝B(x)・(Δx)^2

f''(x)={f'(x)}' については (*) より

    Δ(Δy)＝f'(x＋Δx)・Δx＋B(x＋Δx)/2・(Δx)^2＋ξ(x＋Δx,Δx)・(Δx)^2
              −f'(x)・Δx＋B(x)/2・(Δx)^2＋ξ(x,Δx)・(Δx)^2 
           ＝{f'(x＋Δx)− f'(x)}・Δx
              ＋{B(x＋Δx)−B(x)}/2＋{ξ(x＋Δx,Δx)−ξ(x,Δx)}・(Δx)^2 

    Δ(f'(x))・Δx＝B(x)・(Δx)^2
                     ＋{{ξ(x,2Δx)−2ξ(x,Δx)}
                        −{B(x＋Δx)−B(x)}/2
                         −{ξ(x＋Δx,Δx)−ξ(x,Δx)}}・(Δx)^2

両辺Δx で割って

    ε(x,Δx)＝{ξ(x,2Δx)−2ξ(x,Δx)}
                −{B(x＋Δx)−B(x)}/2
                 −{ξ(x＋Δx,Δx)−ξ(x,Δx)}

とおけば

     Δ(f'(x))＝B(x)・Δx＋ε(x，Δx)・Δx
     （Δx→0 のときε(x,Δx)→0）が成立する


でしょうか？

 n 階については帰納的に，


     Δy＝Σ_{k=1}^{n}[{f^(k)/k!}・(Δx)^k]＋{A(x)/n!}・(Δx)^{n+1}＋ε(x,Δx)・(Δx)^{n+1}
     （Δx→0 のときε(x,Δx)→0）が成立する

とき，f^{n+1}(x):＝A(x)。d^n y:＝f^{n+1}(x)・(Δx)^{n+1}

ではいかがでしょう？

TC> ま, お考えあれ.

また外してるかも(..:。