In article <c7teao$r1d$1@nr1.vectant.ne.jp>
"Y.N." <yoshiro@mail.wind.ne.jp> writes:
> 高階の微分まできちんと定式化できますよね。

本当に?

> 二階の微分（同時に二階の導関数）の定義は，細かく書くと，
> 
> 「y＝f(x)のとき，
>   
>   Δ(Δy)＝ B・(Δx)^2 ＋ ξ・(Δx)^2   ………(1) 
>   （B は Δx に無関係。Δx→0のとき，ξ→0。） 
>   が成り立つとき
>   
>   B:＝f''(x)，d^2 y:＝f''(x)・(Δx)^2(＝f''(x)・dx^2)」
> 
> となると思います。

そもそも Δ(Δy) なんてものを定義も与えずに使うのがエムシラ
だけど, Δy = f(x + Δx) - f(x) だから, Δx は差し当たって
定数ということにでもするなら,

  Δ(Δy) = (f((x + Δx) + Δx) - f(x + Δx)) - (f(x + Δx) - f(x))
          = f(x + 2 Δx) - 2 f(x + Δx) + f(x)

のつもりだろうか. # どこかで見たかな.

> f''(x)＝{f'(x)}' は，まず，一階の微分の定義より
> 
>    Δ(Δy)＝Δ(f'(x)・Δx＋ε・Δx) 
>           ＝{f'(x＋Δx)・Δx＋ε・Δx}−{f'(x)・Δx＋ε・Δx}
>           ＝{f'(x＋Δx)−f'(x)}・Δx
>           ＝Δ(f'(x))・Δx

 ε は x と Δx とで決まるものだから, ちゃんと書けば ε(x, Δx)
であり,

  Δ(Δy) = {f'(x + Δx) Δx + ε(x + Δx, Δx) Δx}
            - {f'(x) Δx + ε(x, Δx) Δx}

とするものでしょう. つまり ε の所は簡単には消えない.

# という状況もどこかであったな.

ま, お考えあれ.
-- 
千