ご回答大変有難うございます。

>> ん?これはどうしてでしょうか? 0∈π(A_4)(∵π(A_4)は
>> S_4/A_4の部分群)である事は分かりますが, これからH⊂A_4とは必ずしも言えませんよね。
> π: S_4 → S_4/A_4 = Z_2 は Ker π = A_4 となる
> 準同型写像です. π(H) = { 0 } なら, H ⊂ Ker π = A_4
> です.

自然な準同型写像だったのですね。やっと見通しよくなりました。


>>> π(H) = { 0, 1 } なら, H の中には A_4 に入らない元 x が ありますが,
>> これもどうしてそのようなxがあると分かるのでしょうか?
>>π(A_4)={0}だからでしょうか? π(A_4)={0}といえる理由も分かりませんが。
> G の正規部分群 K があるときに, G から商群 G/K への
> 準同型写像 π: G → G/K というのがどう定義されるか,
> お分かりでしょうか.

G∋∀g→π(g):=gKですね。

> G/K は, g, g' ∈ G について,
> g 〜 g' ⇔ g = g'k  (∃ k ∈ K) で定めた同値関係
> についての類 [g] = { g' ∈ G | g' 〜 g } の全体の
> なす群ですが, π(g) = [g] と定めるわけです.
> 今, S_4/A_4 は Z_2 と同型なので, その単位元を 0 と
> していますが, S_4 の id について, 0 = [id] です.
> A_4 の元 k は勿論 id 〜 id・k = k より k ∈ [id]
> であるし, π(k) = [k] = [id] です. 逆に g ∈ [id] と
> なるのは g ∈ A_4 であることも明らかです.

g ∈ [id]なら∃k∈A_4;id=kgでid=gkとも書けるからg=k^-1∈A_4となりますね。

> つまり,
> S_4 の部分集合として, Ker π = [id] = A_4 です.

有難うございます。納得です。


> 一方, π(x) = 1 ≠ 0 = [id] というのは, [x] ≠ [id]
> ですから, S_4 の部分集合として [x] ∩ [id] = φ (空集合)
> ということで, x は [id] = A_4 には入らない, ということです.

A_4⊂Hでx∈H＼A_4だからA_4x⊂HでA_4∪A_4x⊂HでA_4H=S_4ですね。


> これらのことは一番の基本事項ですから, 商群の話から
> もう一度学び直して下さい.

ありがとうございます。勉強してみたいと思います。