いつも大変お世話になっております。

「#G=p_1^s_1p_2^s_2…p_m^s_m(但し,p_1,p_2,…,p_mは互いに相異なる素数)と素因数分解されたとき,位数
p_i^s_i (i=1,2,…,m)の部分群(つまり,最高べきの部分群)をGのシローp_i部分群と呼ぶ」

4次対称群S_4と5次対称群S_5でのシロー2部分群とシロー3部分群を求めよ

という問題です。

#S_4=24=2^3・3なのでS_4のシロー2部分群は位数は8の部分群…【0】,S_4のシロー3群は位数は3の部分群だと思います(∵定義よ
り)。
でも4次交代群A_4(#A_4=4!/2=12)さえ調べれば十分みたいなのです。
それはどうしてなのでしょうか?

とりあえず
A_4はS_4の部分群(A_4≦S_4)(∵∀a,b∈A_4に対しa^-1b∈A_4)でLagrangeの定理から12<#H<#S_4なる
S_4の部分群Hは存在しない。
よってA_4が最大の真の部分群と分かります。

また,A_4の他に位数12のS_4の部分群HがあったならばA_4とHは同型(A_4〜H)だと思います。
これは何故だか理由は分かりませんが。

#A_4=12=2^2・3だからA_4のシロー2部分群は位数4の部分群(∵シローp部分群の定義)でその個数n_2はn_2≡1(mod2)を満た
すので(∵Sylowの定理)n_2=1+2kと書け,Lagrangeの定理よりk=0の時n_2=1かk=1の時n_2=3の二通り…【1】が考え
られる。
また,A_4のシロー3部分群は位数3の部分群でその個数n_3はn_3≡1(mod3)を満たすので(∵Sylowの定理)n_3=1+3kと書け
Lagrangeの定理より,k=0の時n_3=3かk=1の時n_3=4の二通り…【2】が考えられる。
でもA_4の元の個数は12個たらずなので直接,各元の位数を調べてみると

#<id>=1,#<(1 2 3)>=#<(1 2 4)>=#<(1 3 4)>=#<(2 3 4)>=#<(1 3 2)>=#<(1 4
2)>=#<(1 4 3)>=#<(2 4 3)>=3,
#<(1 2)<3 4)>=#<(1 3)(2 4)>=#<(1 4)(2 3)>=2.
となったので位数4のA_4の部分群は見つかりませんでした。
どのようにして位数4のA_4の部分群を見つけれますでしょうか?

A_4の位数3の部分群は,<(1 2 3)>,<(1 2 4)>,<(1 3 4)>,<(2 3 4)>,<(1 3 2)>,<(1 4 2)
>,<(1 4 3)>,<(2 4 3)>の8つ
となりましたが【2】と辻褄が合いません。何処を勘違いしてますでしょうか?

あと,繰り返しですが【0】については議論する必要性はないのでしょうか?

次にS_5についてですが,,,#S_5=5!=120=2^3・3・5なのでシロー2部分群は位数8の部分群,シロー3部分群は位数3の部分群だと思
います。
そしてこれもA_5を含みますよね。
#A_5=5!/2=60=2^2・3・5でA_5のシロー2部分群は位数4の部分群,A_5のシロー3部分群は位数3の部分群になるかと思います。

結論は
Sylow 3 部分群が、 [[1,2,4]] の形で、
Sylow 2 部分群が、 [[2,3]]、 [[4,5]]、 [[2,4], [3,5]] のもの
みたいなのですが[[1,2,4]] の形ってどういう意味なのでしょうか? 記号[[ ]]は何の記号か分かりません。


吉田京子