ご回答大変ありがとうございます。

>>> 他にはありません.
> これは S_4 の Sylow 3-subgroup で A_4 の Sylow 3-subgroup
> 以外のものはない, と申し上げたわけです.

S_4でのSylow3-subgroupsの個数n_3はn_3=1+3k|4よりn_3=1か4…【1】.
A_4でのSylow3-subgroupsの個数n_3もn_3=1+3k|4よりn_3=1か4…【2】.
でS_4でのSylow3-subgroupsは全てA_4に入りそうな気はします。

> Sylow 3-subgroups は互いに内部自己同型で移りあうわけですが,
> A_4 が正規部分群なので, A_4 の外には出て行きません.

A_4⊃ <(1 2 3)>, <(1 2 4)>,<(1 3 4)>, <(2 3 4)>が位数3なので【1】,【2】からこれらがS_4の
Sylow3-subgroupsと断定できますね。

> ですから, 以下は混線していますが, A_4 以外に位数 12 の
> S_4 の部分群はないという話もありますので, 見ておきますと,
：
>> となるのですね。 すいません。途中でH≠A_4ならA_4H=S_4となるのは何故なのでしょうか?
> π: S_4 → S_4/A_4 = Z_2 での

πは準同系写像なのですね。
Lagrangeの定理から#S_4/A_4=2で素数位数なのでS_4/A_4はアーベル群でそう書けますね。

> H の像は, { 0 } になるか,
> { 0, 1 } になるかのどちらかで, 前者なら H = A_4,

ん?  どうしてπ(H)={0}からH=A_4が言えるのでしょうか?

> 後者なら
> A_4 H = S_4 です.

すいません。これもどうしてπ(H)={0,1}からA_4H=S_4が言えるのでしょうか?

>> ん? Sylow2-subgroupはA_4で考えたほうがいいという事でしょうか?
>> #A_4=12=2^2・3なのでA_4のSylow2-subgroupは位数2^2(=4)…【2】
>> の部分群ですよね。 また,Sylowの定理からSylolw2-subgroupsの個数
>> n_2はn_2=1+2k且つn_2|3なので k=0,1が考えられ,n_2=1かn_2=3…【3】であるが
>> 【2】よりA_4のSylow2-subgroupはアーベル群のみ。 よって位数4のアーベル群は
>> Z_{2^2}とZ_2(+)Z_2があるので A_4のSylow2-subgroupなのでn_2=2…【4】となり,
>> 【3】に反しますが何処か 間違ってますでしょうか?
> A_4 の Sylow 2-subgroup として現れるのは Z_2(+)Z_2 の方だけです.

これはA_4が位数4の巡回群を部分群として持たないからなのですね。

> Sylow p-group の位数は G の位数から定まりますが,
> Sylow p-group としてはその位数の任意の群が現れるわけでなく,
> 現れるものは内部自己同型で移りあうので, 必ず唯一種類です.

うーん,ここは難しいですね。内部自己同型で移りあうとはどういう意味なのでしょうか?
内部自己同型の定義は知ってはいますが。

>> 勿論,位数2のA_4の部分群も存在し(∵某命題),位数が素数なのでこれもアーベル。
>> したがって,A_4の位数2のアーベル群はZ_2の一つのみ。
> 型としてはそれしかないですね. Z_2(+)Z_2 の中には
> Z_2 と同型な群が 3 つ入っています.

<(1mod2,1mod2)>,<(0mod2,1mod2)>,<(1mod2,0mod2)>ですかね。

>> うーん。これから位数2^3のS_4のSylow2-subgroupはどうすれば求まるのでしょうか?
> 二乗が A_4 の Sylow 2-subgroup に入るような元を付け加えて,
：
> 直ぐに出来ます. これ以外に Sylow 2-subgroup がないことも
> 位数 4 の元が 6 つしかないので, 明らかです.

ありがとうございます。そのようにするのですね。

{ id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) } に (1 3 4 2) を
付け加えて, 積を取ってみれば,
{ id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3),(1 4),(2 3), (1 2 4 3), (1 3
4 2)}

{ id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) } に (1 4 2 3) を
付け加えて, 積を取ってみれば,
{ id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3),(1 2),(4 3),(1 3 2 4),(1 4 2
3)}

となりました。
Sylowの定理からS_4のSylow2-subgroupの個数をn_2とすると
n_2=1+2k|3より,n_2=1,3で今,3つ見つかったのでこれらがS_4のSylow2-subgroupなのですね。


>> うーんとこれはn_2=1+2k|15だらかn_2=1,3,5,15ですが
>> どうして15と決定できるのでしょうか?
> 実際に異なるものが 15 こあるからです.

{ id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) } に
(1 2 3 4)を含むもの, (1 3 4 2)を含むもの,(1 4 2 3)を含むもの,
(1 2 3 5)を含むもの, (1 3 5 2)を含むもの,(1 5 2 3)を含むもの,
(1 2 5 4)を含むもの, (1 5 4 2)を含むもの,(1 4 2 5)を含むもの,
(1 5 3 4)を含むもの, (1 3 4 5)を含むもの,(1 4 5 3)を含むもの,
(5 2 3 4)を含むもの, (5 3 4 2)を含むもの,(5 4 2 3)を含むもの,

の15個ですね。

> S_4 の入り方が
> 違うとその Sylow 2-subgroups は同じ群にはなりませんね.

そうですね。

Sylow3-subgoupの方はn_3=1+3k|40だからn_3=1,4,10が考えられ,
S_4のSylow3-subgroupsは<(1 2 3)>, <(1 2 4)>,<(1 3 4)>, <(2 3 4)>だったので5を割り
振って,
<(1 2 3)>, <(1 2 4)>,<(1 3 4)>, <(2 3 4)>
<(1 2 5)>,<(1 3 5)>, <(2 3 5)>,
<(1 2 5)>,<(1 5 4)>,<(2 5 4)>,
<(1 5 3)>, <(1 5 4)>,<(5 3 4)>
<(5 2 3)>, <(5 2 4)>,<(5 3 4)>,
でダブっているものを取り除いて
<(1 2 3)>, <(1 2 4)>,<(1 3 4)>, <(2 3 4)>,
<(1 2 5)>,<(1 3 5)>, <(2 3 5)>,
<(1 5 4)>, <(2 5 4)>,<(5 3 4)>
の10個となるのですね。