ご回答大変ありがとうございます。

>> #S_4=24=2^3・3なのでS_4のシロー2部分群は位数は8の部分群…【0】,
>> S_4のシロー3群は位数は3の部分群だと思います(∵定義より)。
>> でも4次交代群A_4(#A_4=4!/2=12)さえ調べれば十分みた
>> いなのです。 それはどうしてなのでしょうか?
> Sylow 3-subgroup の方は, A_4 の Sylow 3-subgroup が
> S_4 の Sylow 3-subgroup にもなっているからですかね.

なるほど。

> A_4 は S_4 の正規部分群なので,

指数[S_4:A_4]=2なのでA_4はS_4の正規部分群なのですね(∵某命題より)。

> 他にはありません.

これは他に位数12のGの正規部分群Hがあったとすると
第二同型定理「HはGの正規部分群で,∀K≦Gに対し,K/(K∩H)〜(KH)/H」より
HA_4/H〜A_4/(A_4∩H)…【1】と書け,H≠A_4ならA_4H=S_4(∵??)で
A_4/(A_4∩H)〜S_4/H〜C_2 (但し,C_2は位数2の剰余類)
この時,Lagrangeの定理から【1】より#(A_4∩H)=[A_4:A_4∩H]÷#C_2=6と書け、
A_4∩Hは第二同型定理からGの部分群でA_4∩H⊂A_4なので,A_4∩HはA_4の部分群。
A_4は位数6の部分群は持たない(∵某命題)ので矛盾。
よって,A_4以外に位数12のS_4の部分群は無い。

となるのですね。
すいません。途中でH≠A_4ならA_4H=S_4となるのは何故なのでしょうか?

> 但し, こちらは A_4 に拘らない方が良いかも知れません.
> Sylow 2-subgroup の方はもう少し議論が必要です. しかし,
> こちらは先に A_4 を考えた方が分かり易いかも知れません.

ん? Sylow2-subgroupはA_4で考えたほうがいいという事でしょうか?
#A_4=12=2^2・3なのでA_4のSylow2-subgroupは位数2^2(=4)…【2】の部分群ですよね。
また,Sylowの定理からSylolw2-subgroupsの個数n_2はn_2=1+2k且つn_2|3なのでk=0,1が考えられ,n_2=1
かn_2=3…【3】であるが
【2】よりA_4のSylow2-subgroupはアーベル群のみ。よって位数4のアーベル群はZ_{2^2}とZ_2(+)Z_2があるので
A_4のSylow2-subgroupなのでn_2=2…【4】となり,【3】に反しますが何処か間違ってますでしょうか?
勿論,位数2のA_4の部分群も存在し(∵某命題),位数が素数なのでこれもアーベル。
したがって,A_4の位数2のアーベル群はZ_2の一つのみ。

うーん。これから位数2^3のS_4のSylow2-subgroupはどうすれば求まるのでしょうか?

>> とりあえず A_4はS_4の部分群(A_4≦S_4)(∵∀a,b∈A_4に対しa^-1b∈A_4)で
>> Lagrangeの定理から12<#H<#S_4なる S_4の部分群Hは存在しない。 よってA_4が最大の真の部分群と分かります。
>> また,A_4の他に位数12のS_4の部分群Hがあったならば A_4とHは同型(A_4〜H)だと思います。
> 同型どころか, 位数 12 の部分群は A_4 しかありません.

上述の通り、そのようですね。

>> #A_4=12=2^2・3だからA_4のシロー2部分群は位数4の部分群 (∵シローp部分群の定義)
>>  でその個数n_2はn_2≡1(mod2)を満たすので (∵Sylowの定理) n_2=1+2kと書け,
>> Lagrangeの定理よりk=0の時n_2=1かk=1の時n_2=3の二通り…【1】が考えられる。

上述の通り,n_2=3は有り得ない事が分かりました。

>> また,A_4のシロー3部分群は位数3の部分群で その個数n_3はn_3≡1(mod3)を満たすので
>>(∵Sylowの定理)n_3=1+3kと書け Lagrangeの定理より,k=0の時n_3=3かk=1の時n_3=4の二通
>> り…【2】が考えられる。

更に#A_4=2^2・3でgcd(2^2,3)=1なのでn_3は2^2を割り切られねばならないのでn_3=3は有り得ない。
よって,n_3=4…【5】となるのですね。

>> でもA_4の元の個数は12個たらずなので直接,各元の位数を調べてみると
>> #<id>=1, #<(1 2 3)>=#<(1 2 4)>=#<(1 3 4)>=#<(2 3 4)> =#<(1 3 2)>=#<(1 4
>> 2)>=#<(1 4 3)>=#<(2 4 3)>=3, #<(1 2)<3 4)>=#<(1 3)(2 4)>=#<(1 4)(2 3)>=2.
>> となったので位数4のA_4の部分群は見つかりませんでした。
>> どのようにして位数4のA_4の部分群を見つけれますでしょうか?
> 位数 4 の群は Z_4 の場合と Z_2×Z_2 の場合があります.
> A_4 の位数 4 の部分群は後者の方です.

なるほど。【4】でn_2=2となったのは矛盾ではなく,片方のアーベル群はA_4の部分群にはならないのですね。
よってn_2=1…【6】となりうるのですね。Sylowp-subgroupsの個数が今回ように予想値に反する場合は大きい予想値は除外して考えい
いのでSylowp-subgoupsの個数の予想が絞り込めますね。
従って,n_2=1なのですね。

そして,後者の方と予想されたのは, Z_4は位数4の巡回群で
#<id>=1, #<(1 2 3)>=…=#<(1 3)(2 4)>=#<(1 4)(2 3)>=2.で少なくとも位数4の巡回群が無いからな
のですね。

> { id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) } が
> A_4 の唯一つの位数 4 の部分群です.

ありがとうございます。納得です。

>> A_4の位数3の部分群は, <(1 2 3)>,<(1 2 4)>,<(1 3 4)>,<(2 3 4)>, <(1 3
>> 2)>,<(1 4 2)>,<(1 4 3)>,<(2 4 3)>の 8つとなりましたが【2】と辻褄が合いません。
>>  何処を勘違いしてますでしょうか?
> <(1 2 3)> = <(1 3 2)>, <(1 2 4)> = <(1 4 2)>,
> <(1 3 4)> = <(1 4 3)>, <(2 3 4)> = <(2 4 3)> ですから
> A_4 の位数 3 の部分群は 4 つで, 辻褄は合っています.

ああ!そうでした。【5】にちゃんと辻褄合ってますね。

>> あと,繰り返しですが【0】については議論する必要性はないのでしょうか?
> 当然必要ですね. S_4 の Sylow 2-subgroup は A_4 の
> Sylow 2-subgroup を指数 2 の正規部分群として必ず
> 含みます.

S_4=24=2^3・3なのでn_8=1+2k|3より,n_8=1,3が考えられます。
位数8の部分群H_8は位数4のA_4の部分群H_4も含むという訳ですね。
そうなる理由は【6】より,命題「p^r|#GならGは位数p^rの部分群を含む」からH_4≦H_8≦S_4とならざる得ないのですね。

> それは (1 2 3 4) を含むもの,
> (1 3 4 2) を含むもの, (1 4 2 3) を含むもの, の
> 3 つあります.

これらの位数はいずれも4ですよね。なので{ id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) }を付け足して

#<(1 2 3)>=#<(1 2 4)>=#<(1 3 4)>=#<(2 3 4)> =#<(1 3 2)>=#<(1 4 2)>=#<
(1 4 3)>=#<(2 4 3)>=3…【7】
で
<(1 2 3)>={id,(1 2 3),(1 3 2)},<(1 2 4)>={id,(1 2 4),(1 4 2)},<(1 3 4)
>={id,(1 3 4),(1 4 3)},<(2 3 4)>={id,(2 3 4),(2 4 3)}
のいずれかと
<(1 2 3 4)>={id,(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2)},
<(1 3 4 2)>={id,(1 3 4 2),(1 4)(2 3),(1 2 4 3)},
<(1 4 2 3)>={id,(1 4 2 3),(1 2)(3 4),(1 3 2 4)}
のいずれかとを合体させれば位数8の部分群ができるかと思いまして,手当たり次第に1つずつ元を採り,演算について閉じているか調べているのですがなか
なか閉じてくれません。能率的な探し方ってあるのでしょうか?

>> 次にS_5についてですが,,,#S_5=5!=120=2^3・3・5なので
：
>> [[4,5]]、 [[2,4], [3,5]] のもの みたいなのですが[[1,2,4]] の
>> 形ってどういう意味なのでしょうか? 記号[[ ]]は何の記号か分かりません。
> 意味不明ですね. S_5 の中には S_4 が 5 通りの入り方で
> 入りますが,

そうですね。対称群だからS_4≦S_5となりますね。

> それぞれの S_4 の Sylow 2-subgroup が
> S_5 の Sylow 2-subgroup となります. 全部で 15 こですね.

うーんとこれはn_2=1+2k|15だらかn_2=1,3,5,15ですがどうして15と決定できるのでしょうか?

> S_5 の Sylow 3-subgroup は 3 次の巡回群ですから,
> 5 つの数字から 3 つの数字を取り出す取り出し方の数,
> 即ち, 10 この Sylow 3-subgroup があります.

#S_5=5!=120=2^3・3・5Sylow3-subgroupsの位数は3でこれは素数なので巡回群が部分群になるという訳ですね。
n_3=1+3k|40だからn_3=1,10が考えられるから【7】より,
<(1 2 3)>,<(1 2 4)>,<(1 3 4)>,<(2 3 4)>の他に
<(2 3 5)>,<(2 4 5)>,<(3 4 5)>,
<(1 3 5)>,<(1 4 5)>,
<(1 2 5)>,
が位数3なのでこれら10個が求めるべきものでうまくいっています。

同様にSylow5-subgoupsも巡回群になるので,位数5の元をS_5から探せばいいのですね。